Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
frac{6}{\left(s^{2}-1\right)\left(s^{2}-4\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{6}{\bigl(s^{2}-1\bigr)\bigl(s^{2}-4\bigr)}
usando frações parciais. O conteúdo envolve decompor essa função racional em termos de \tfrac{1}{s-a} e depois usar
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s-a}\bigr\}=e^{at}.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e montamos o ansatz de frações parciais:
\frac{6}{(s-1)(s+1)(s-2)(s+2)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s-2}+\frac{D}{s+2}.
Multiplicamos ambos os lados por (s-1)(s+1)(s-2)(s+2) para obter
6 = A\,(s+1)(s-2)(s+2) + B\,(s-1)(s-2)(s+2) + C\,(s-1)(s+1)(s+2) + D\,(s-1)(s+1)(s-2).

Passo 3

Aplicamos o método do “cover-up” avaliando nos polos:
  • Em s=1:
    6 = A\,(1+1)(1-2)(1+2)=A\cdot2\cdot(-1)\cdot3=-6A A=-1.
  • Em s=-1:
    6 = B\,(-1-1)(-1-2)(-1+2)=B\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot1=6B B=1.
  • Em s=2:
    6 = C\,(2-1)(2+1)(2+2)=C\cdot1\cdot3\cdot4=12C C=\tfrac12.
  • Em s=-2:
    6 = D\,(-2-1)(-2+1)(-2-2)=D\cdot(-3)\cdot(-1)\cdot(-4)=-12D D=-\tfrac12.

Passo 4

Substituindo A,B,C,D na decomposição, fica
\frac{6}{(s^{2}-1)(s^{2}-4)} =-\frac{1}{s-1} +\frac{1}{s+1} +\frac{1/2}{s-2} -\frac{1/2}{s+2}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{1}{s-1}\Bigr\} = -e^{t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s+1}\Bigr\} = e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1/2}{s-2}\Bigr\} = \tfrac12\,e^{2t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{1/2}{s+2}\Bigr\} = -\tfrac12\,e^{-2t}.

Passo 6

Somando as partes, obtemos
f(t) =-e^{t}+e^{-t}+\tfrac12\,e^{2t}-\tfrac12\,e^{-2t}.
Opcionalmente, pode-se reescrever em termos de senh:
f(t)=-2\operatorname{sinh}(t)+\operatorname{sinh}(2t).

Resposta

f(t)=-e^{t}+e^{-t}+\tfrac12\,e^{2t}-\tfrac12\,e^{-2t}.

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