Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
frac{s^{2}+9 s-9}{s^{3}-9 s}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{s^{2}+9s-9}{s^{3}-9s},
usando decomposição em frações parciais. O assunto aqui é transformar F(s) em somas de termos cujas inversas de Laplace são tabeladas.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^{3}-9s = s\,(s^{2}-9) = s\,(s-3)\,(s+3).
Assim escrevemos
F(s)=\frac{s^{2}+9s-9}{s\,(s-3)\,(s+3)}.

Passo 3

Propomos a forma de frações parciais
\frac{s^{2}+9s-9}{s\,(s-3)\,(s+3)} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}+\frac{C}{s+3}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por s(s-3)(s+3)\) e igualando coeficientes de \(s^{2}\), \(s\) e termo constante, obtemos \[s^{2}+9s-9 = A(s-3)(s+3) + B\,s(s+3) + C\,s(s-3).
Expandindo,
A(s^{2}-9) + B(s^{2}+3s) + C(s^{2}-3s) = (A+B+C)s^{2} + (3B-3C)s -9A.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + B + C = 1,\\\\ 3B - 3C = 9,\\\\ -9A = -9. \end{cases}
Da última equação A=1\]. Então \(B+C=0 e B-C=3, o que dá B=\tfrac32 e C=-\tfrac32.

Passo 5

A decomposição fica
F(s)=\frac{1}{s} + \frac{\tfrac32}{s-3} - \frac{\tfrac32}{s+3}.

Passo 6

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac1s\bigr\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac1{s-a}\bigr\}=e^{at}.
Logo,
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =1 + \tfrac32\,e^{3t} - \tfrac32\,e^{-3t}.

Resposta

f(t)=1 \;+\; \frac32\,e^{3t}\;-\;\frac32\,e^{-3t}.

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