Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
frac{s}{(s+1)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{s}{(s+1)^{2}}
usando frações parciais. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e transformadas inversas conhecidas de \tfrac{1}{s+a} e \tfrac{1}{(s+a)^{2}}.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{s}{(s+1)^{2}} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^{2}}.
Multiplicando por (s+1)^{2}, obtemos
s = A(s+1) + B = As + A + B.
Igualando coeficientes de s e termos constantes:
\begin{cases} A = 1,\\\ A + B = 0, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad A=1,\;B=-1.
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\frac{s}{(s+1)^{2}} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada parcela. Sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s+1}\bigr\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}}\bigr\}=t\,e^{-t}.
Pela linearidade,
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{s}{(s+1)^{2}}\Bigr\} =e^{-t}-t\,e^{-t}.

Resposta

f(t) = \bigl(1 - t\bigr)\,e^{-t}.

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