Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
frac{3 s^{2}-2 s-1}{(s-3)\left(s^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
\frac{3s^{2}-2s-1}{(s-3)\,(s^{2}+1)}
usando o método de frações parciais. Vamos decompor essa função em termos cujas transformadas inversas conhecemos: somas de razões simples de s, s^{2}+1 e s-3.

Passo 2

Procuramos constantes A, B e C tais que
\frac{3s^{2}-2s-1}{(s-3)\,(s^{2}+1)} =\frac{As+B}{s^{2}+1}+\frac{C}{s-3}.
Multiplicamos ambos os lados por (s-3)(s^{2}+1), obtendo
3s^{2}-2s-1=(As+B)(s-3)+C\,(s^{2}+1).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
(As+B)(s-3)=As^{2}-3As+Bs-3B,
C\,(s^{2}+1)=C\,s^{2}+C.
Somando,
As^{2}-3As+Bs-3B+C\,s^{2}+C =(A+C)s^{2}+(-3A+B)s+(-3B+C).
Comparando coeficientes com 3s^{2}-2s-1, temos o sistema
\begin{cases} A+C=3,\\\\ -3A+B=-2,\\\\ -3B+C=-1. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo:
Da primeira equação C=3-A.
Substituindo em -3A+B=-2 B=-2+3A.
Na terceira equação -3B+C=-1 substituímos B e C:
-3(-2+3A)+(3-A)=-1 \;\Longrightarrow\; 6-9A+3-A=-1 \;\Longrightarrow\; -10A=-10 \;\Longrightarrow\; A=1.
Então C=3-1=2 e B=-2+3\cdot1=1. A decomposição final é
\frac{3s^{2}-2s-1}{(s-3)(s^{2}+1)} =\frac{s+1}{s^{2}+1}+\frac{2}{s-3}.

Passo 5

Usamos as transformadas inversas conhecidas: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr\}=\cos t, \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+1}\Bigr\}=\sin t, \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s-3}\Bigr\}=e^{3t}.
Portanto,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s+1}{s^{2}+1}\Bigr\} =\cos t + \sin t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s-3}\Bigr\} =2\,e^{3t}.

Resposta

f(t)=\cos t + \sin t + 2\,e^{3t}.

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