Calcule f * g pela fórmula f * g(t)=\int_{0}^{t} f(x) g(t-x) d x.
t * e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(x)\,g(t-x)\,dx
quando f(t)=t e g(t)=e^{t}. Vamos usar a definição de convolução e depois integrar por partes para resolver.

Passo 2

Substituindo f(x)=x e g(t-x)=e^{\,t-x} na integral, temos
(f*g)(t) =\int_{0}^{t}x\,e^{\,t-x}\,dx =e^{t}\int_{0}^{t}x\,e^{-x}\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{t}x\,e^{-x}\,dx, aplicamos integração por partes com
u=x,\quad dv=e^{-x}dx \quad\Longrightarrow\quad du=dx,\quad v=-e^{-x}.
Logo,
\int_{0}^{t}x\,e^{-x}\,dx =\Bigl.-x\,e^{-x}\Bigr|_{0}^{t}+\int_{0}^{t}e^{-x}\,dx =-t\,e^{-t}+0 +\bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{t} =-t\,e^{-t} -\bigl(e^{-t}-1\bigr) =1 -e^{-t}(t+1).

Passo 4

Substituindo de volta em (f*g)(t)=e^{t}\int_{0}^{t}x\,e^{-x}\,dx, obtemos
(f*g)(t) =e^{t}\bigl[1 -e^{-t}(t+1)\bigr] =e^{t}-\bigl(t+1\bigr).

Resposta

(f*g)(t)=e^{t}-t-1.

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