Suponha que o sistema de coordenadas \bar{O} \overline{x y} tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas O x y por um ângulo de 30^{\circ}. Use a rotação
\begin{aligned} & x=\bar{x} \cos \theta-\bar{y} \sin \theta \\\ & y=\bar{x} \sin \theta+\bar{y} \cos \theta \end{aligned}
para transformar a equação da curva \mathcal{C}: y=x^{2} no sistema coordenado \bar{O} \overline{x y}.

Passo 1

O enunciado pede a equação da curva \mathcal{C}:y=x^{2} no sistema de coordenadas girado de 30^\circ. As fórmulas de rotação são
x=\bar{x}\cos\theta-\bar{y}\sin\theta,
y=\bar{x}\sin\theta+\bar{y}\cos\theta,
com \theta=30^\circ. Vamos usar \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\tfrac{1}{2} e substituir em y=x^{2}.

Passo 2

Substituindo na equação original temos
\bar{x}\,\sin30^\circ+\bar{y}\,\cos30^\circ =(\bar{x}\,\cos30^\circ-\bar{y}\,\sin30^\circ)^{2}.

Passo 3

Inserindo os valores de \sin30^\circ e \cos30^\circ e expandindo o quadrado dá
\frac{1}{2}\bar{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\bar{y} =\biggl(\frac{\sqrt{3}}{2}\bar{x}-\frac{1}{2}\bar{y}\biggr)^{2} =\frac{3}{4}\bar{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bar{x}\bar{y}+\frac{1}{4}\bar{y}^{2}.

Passo 4

Para eliminar frações, multiplicamos ambos os lados por 4:
2\bar{x}+2\sqrt{3}\,\bar{y} =3\bar{x}^{2}-2\sqrt{3}\,\bar{x}\bar{y}+\bar{y}^{2}.
Em seguida trazemos tudo para um lado:
3\bar{x}^{2}-2\sqrt{3}\,\bar{x}\bar{y}+\bar{y}^{2} -2\bar{x}-2\sqrt{3}\,\bar{y}=0.

Passo 5

Essa é a equação de \mathcal{C} no sistema \bar{O}\overline{xy}. Podemos deixá-la em forma geral:
3\bar{x}^{2}-2\sqrt{3}\,\bar{x}\bar{y}+\bar{y}^{2} -2\bar{x}-2\sqrt{3}\,\bar{y}=0.

Resposta

3\bar{x}^{2}-2\sqrt{3}\,\bar{x}\bar{y}+\bar{y}^{2} -2\bar{x}-2\sqrt{3}\,\bar{y}=0.

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