Determine os três ângulos e os três lados dos triângulos abaixo utilizando a lei dos cossenos.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse triângulo juntos! A gente tem um triângulo onde o ângulo $ A $ mede $ 70^{\circ} $, o lado $ c $ mede 30 unidades e o lado $ b $ mede 60 unidades. Vamos usar a Lei dos Cossenos para descobrir os outros lados e ângulos. A Lei dos Cossenos é super útil quando a gente tem alguns lados e ângulos e quer encontrar os que faltam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Fórmula da Lei dos Cossenos para encontrar o lado $ a $:
Vamos substituir os valores que temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada parte:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ a $:
Então, o lado $ a $ mede aproximadamente 57,16 unidades.
Passo 5
Agora que temos os três lados do triângulo ($ a \approx 57,16 $, $ b = 60 $, $ c = 30 $), vamos encontrar os outros ângulos usando novamente a Lei dos Cossenos.
Primeiro, vamos encontrar o ângulo $ B $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando cada parte:
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar $ B $:
Passo 7
Finalmente, para encontrar o ângulo $ C $, lembramos que a soma dos ângulos de um triângulo é $ 180^{\circ} $:
Resposta
Os ângulos e lados do triângulo são aproximadamente:
- Ângulo $ A = 70^{\circ} $
- Ângulo $ B \approx 97,2^{\circ} $
- Ângulo $ C \approx 12,8^{\circ} $
- Lado $ a \approx 57,16 $
- Lado $ b = 60 $
- Lado $ c = 30 $