Determine os três ângulos e os três lados dos triângulos abaixo utilizando a lei dos cossenos.
ang<= A=70^circ, c=30, b=60.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse triângulo juntos! A gente tem um triângulo onde o ângulo $ A $ mede $ 70^{\circ} $, o lado $ c $ mede 30 unidades e o lado $ b $ mede 60 unidades. Vamos usar a Lei dos Cossenos para descobrir os outros lados e ângulos. A Lei dos Cossenos é super útil quando a gente tem alguns lados e ângulos e quer encontrar os que faltam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Fórmula da Lei dos Cossenos para encontrar o lado $ a $:
a
Vamos substituir os valores que temos:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cdot cos(A)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada parte:
60^2 = 3600
30^2 = 900
2 times 60 times 30 = 3600
cos(70^circ) approx 0,3420
2bc cos(A) = 3600 times 0,3420 approx 1231,2
Substituindo de volta na equação:
a^2 = 3600 + 900 - 1231,2 = 3600 + 900 = 4500 - 1231,2 = 3268,8

Passo 4

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ a $:
a
Então, o lado $ a $ mede aproximadamente 57,16 unidades.

Passo 5

Agora que temos os três lados do triângulo ($ a \approx 57,16 $, $ b = 60 $, $ c = 30 $), vamos encontrar os outros ângulos usando novamente a Lei dos Cossenos.
Primeiro, vamos encontrar o ângulo $ B $:
a approx 57,16
Substituindo os valores:
b = 60

Passo 6

Calculando cada parte:
57,16^2 approx 3268,8
30^2 = 900
60^2 = 3600
2 times 57,16 times 30 approx 3430,8
cos(B) = 3268,8 + 900 - 36003430,8 = -431,23430,8 approx -0,1257
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar $ B $:
B

Passo 7

Finalmente, para encontrar o ângulo $ C $, lembramos que a soma dos ângulos de um triângulo é $ 180^{\circ} $:
C

Resposta

Os ângulos e lados do triângulo são aproximadamente:
  • Ângulo $ A = 70^{\circ} $
  • Ângulo $ B \approx 97,2^{\circ} $
  • Ângulo $ C \approx 12,8^{\circ} $
  • Lado $ a \approx 57,16 $
  • Lado $ b = 60 $
  • Lado $ c = 30 $

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