O segmento de reta que une dois pontos da hipérbole passando por um dos focos, perpendicularmente à reta focal é chamado de latus rectum. Prove que o latus rectum da hipérbole H: x^2a^2-y^2b^2=1 mede 2 b^2a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o latus rectum de uma hipérbole dada por H: x^2a^2 - y^2b^2 = 1. O objetivo é provar que o comprimento do latus rectum dessa hipérbole é 2b^2a. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a definição de hipérbole, seus focos e como encontrar os pontos do latus rectum.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois focos, e a distância de cada foco até o centro da hipérbole é dada por c, onde c^2 = a^2 + b^2. Então, os focos dessa hipérbole estão em (pm c, 0).

Passo 3

Como o latus rectum passa por um dos focos e é perpendicular à reta focal (que no caso é o eixo x), ele será uma linha vertical passando por um dos focos. Vamos escolher o foco positivo, então a equação dessa linha é x = c.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde essa linha vertical intersecta a hipérbole. Substituímos x = c na equação da hipérbole:
c^2a^2 - y^2b^2 = 1
Sabemos que c^2 = a^2 + b^2, então substituindo:
a^2 + b^2a^2 - y^2b^2 = 1 implies 1 + b^2a^2 - y^2b^2 = 1
Simplificando:
b^2a^2 = y^2b^2 implies y^2 = b^4a^2 implies y = pm b^2a
Então, os pontos de interseção são (c, b^2a) e (c, -b^2a).

Passo 5

O comprimento do latus rectum é a distância entre esses dois pontos no eixo y. Calculando:
Comprimento = | b^2a - (-b^2a) | = 2b^2a

Resposta

Portanto, o latus rectum da hipérbole H: x^2a^2 - y^2b^2 = 1 mede 2b^2a.

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