O segmento de reta que une dois pontos da hipérbole passando por um dos focos, perpendicularmente à reta focal é chamado de latus rectum. Prove que o latus rectum da hipérbole mede
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o latus rectum de uma hipérbole dada por . O objetivo é provar que o comprimento do latus rectum dessa hipérbole é . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a definição de hipérbole, seus focos e como encontrar os pontos do latus rectum.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois focos, e a distância de cada foco até o centro da hipérbole é dada por , onde . Então, os focos dessa hipérbole estão em .
Passo 3
Como o latus rectum passa por um dos focos e é perpendicular à reta focal (que no caso é o eixo x), ele será uma linha vertical passando por um dos focos. Vamos escolher o foco positivo, então a equação dessa linha é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde essa linha vertical intersecta a hipérbole. Substituímos na equação da hipérbole:
Sabemos que , então substituindo:
Simplificando:
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 5
O comprimento do latus rectum é a distância entre esses dois pontos no eixo y. Calculando:
Resposta
Portanto, o latus rectum da hipérbole H: x^2a^2 - y^2b^2 = 1 mede 2b^2a.