Determine os três ângulos e os três lados dos triângulos abaixo utilizando a lei dos cossenos.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse triângulo juntos! A gente tem um triângulo com o ângulo $ \angle C = 53^{\circ} $, e os lados $ a = 3 $ e $ b = 4 $. Nosso objetivo é encontrar os outros lados e os outros ângulos desse triângulo usando a Lei dos Cossenos. A Lei dos Cossenos é uma ferramenta super útil para relacionar lados e ângulos em triângulos que não são necessariamente retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o lado $ c $. A Lei dos Cossenos nos diz que:
Substituindo os valores que temos:
Vamos calcular passo a passo:
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ c $:
Passo 3
Agora que temos todos os lados ($ a = 3 $, $ b = 4 $, $ c \approx 3,25 $), vamos encontrar os outros ângulos $ A $ e $ B $ usando novamente a Lei dos Cossenos.
Vamos achar o ângulo $ A $ primeiro:
Substituindo os valores:
Calculando:
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar $ A $:
Passo 4
Por último, vamos encontrar o ângulo $ B $. Sabemos que a soma dos ângulos de um triângulo é $ 180^{\circ} $. Então:
Substituindo os valores:
Resposta
Os três lados do triângulo são aproximadamente $ a = 3 $, $ b = 4 $ e $ c = 3,25 $. Os três ângulos são $ A \approx 47,5^{\circ} $, $ B \approx 79,5^{\circ} $ e $ C = 53^{\circ} $.