Determine os três ângulos e os três lados dos triângulos abaixo utilizando a lei dos cossenos.
ang<= C=53^circ, a=3, b=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse triângulo juntos! A gente tem um triângulo com o ângulo $ \angle C = 53^{\circ} $, e os lados $ a = 3 $ e $ b = 4 $. Nosso objetivo é encontrar os outros lados e os outros ângulos desse triângulo usando a Lei dos Cossenos. A Lei dos Cossenos é uma ferramenta super útil para relacionar lados e ângulos em triângulos que não são necessariamente retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o lado $ c $. A Lei dos Cossenos nos diz que:
c
Substituindo os valores que temos:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cdot cos(C)
Vamos calcular passo a passo:
c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 cdot 3 cdot 4 cdot cos(53^circ)
c^2 = 9 + 16 - 24 cdot cos(53^circ)
c^2 = 25 - 24 cdot 0,6018150232 (pois cos(53^circ) approx 0,6018)
c^2 = 25 - 14,44356
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ c $:
c^2 approx 10,55644

Passo 3

Agora que temos todos os lados ($ a = 3 $, $ b = 4 $, $ c \approx 3,25 $), vamos encontrar os outros ângulos $ A $ e $ B $ usando novamente a Lei dos Cossenos.
Vamos achar o ângulo $ A $ primeiro:
a = 3
Substituindo os valores:
b = 4
Calculando:
c approx 3,25
A
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar $ A $:
B

Passo 4

Por último, vamos encontrar o ângulo $ B $. Sabemos que a soma dos ângulos de um triângulo é $ 180^{\circ} $. Então:
B
Substituindo os valores:
180^circ

Resposta

Os três lados do triângulo são aproximadamente $ a = 3 $, $ b = 4 $ e $ c = 3,25 $. Os três ângulos são $ A \approx 47,5^{\circ} $, $ B \approx 79,5^{\circ} $ e $ C = 53^{\circ} $.

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