Conclua do item (b) a desigualdade de CauchySchwarz no caso
. Por que ela permanece valida se
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a desigualdade de Cauchy–Schwarz
no caso , usando o resultado do item (b), e depois justificar por que continua válida quando
.
no caso
Passo 2
Do item (b) sabemos que
Isso vem da positividade de
em função de
e da exigência de que o discriminante seja não positivo.
Passo 3
Reescrevendo a desigualdade do item (b) temos
Como ambos os lados são não negativos, podemos tirar raiz quadrada em cada um, chegando a
que é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz para
.
Passo 4
Se
, então
e também
. Substituindo na desigualdade
ficamos com
que é verdadeiro. Portanto a desigualdade permanece válida mesmo para
.
Resposta
|\langle u,v\rangle| \le |u|,|v|