Conclua do item (b) a desigualdade de CauchySchwarz no caso v neq 0. Por que ela permanece valida se v=0? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade de Cauchy–Schwarz
lvertlang<= u,vrang<=rvert <= |u|,|v|
no caso vneq0, usando o resultado do item (b), e depois justificar por que continua válida quando v=0.

Passo 2

Do item (b) sabemos que
|u|^2,|v|^2 - lang<= u,vrang<=^2 >= 0
Isso vem da positividade de lang<= u-tv,u-tvrang<= em função de t e da exigência de que o discriminante seja não positivo.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade do item (b) temos
|u|^2,|v|^2 >= lang<= u,vrang<=^2
Como ambos os lados são não negativos, podemos tirar raiz quadrada em cada um, chegando a
|u|,|v| >= |lang<= u,vrang<=|,
que é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz para vneq0.

Passo 4

Se v=0, então |v|=0 e também lang<= u,vrang<==lang<= u,0rang<==0. Substituindo na desigualdade
|lang<= u,vrang<=| <= |u|,|v|
ficamos com
0 <= |u|cdot0 = 0,
que é verdadeiro. Portanto a desigualdade permanece válida mesmo para v=0.

Resposta

|\langle u,v\rangle| \le |u|,|v|

Exercícios relacionados