Use os multiplicados de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita as restrições dadas.
(e)
s.a.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando os multiplicadores de Lagrange. A gente tem que encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = 3x + 2y + 4z $ com a restrição $ x^{2} + 2y^{2} + 6z^{2} = 1 $. Pra isso, vamos precisar conhecer o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, montamos a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, geralmente chamado de $ \lambda $. A função de Lagrange fica assim:
Aqui, subtraímos $ \lambda $ vezes a restrição igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de $ \mathcal{L} $ em relação a $ x $, $ y $, $ z $ e $ \lambda $, e igualar cada uma a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos resolver as primeiras três equações para $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ \lambda $:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Passo 5
Agora, substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ na restrição $ x^{2} + 2y^{2} + 6z^{2} = 1 $:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Passo 6
Com $ \lambda $ encontrado, substituímos de volta em $ x $, $ y $ e $ z $:
Para $ \lambda = \sqrt{\frac{41}{12}} $:
Para $ \lambda = -\sqrt{\frac{41}{12}} $, os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ serão os negativos.
Resposta
Os valores máximos e mínimos de $ f(x, y, z) $ são $ \pm \sqrt{41} $.