Use os multiplicados de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita as restrições dadas.
(e) f(x, y, z)=3 x+2 y+4 z s.a. x^2+2 y^2+6 z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando os multiplicadores de Lagrange. A gente tem que encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = 3x + 2y + 4z $ com a restrição $ x^{2} + 2y^{2} + 6z^{2} = 1 $. Pra isso, vamos precisar conhecer o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, montamos a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, geralmente chamado de $ \lambda $. A função de Lagrange fica assim:
lambda
Aqui, subtraímos $ \lambda $ vezes a restrição igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de $ \mathcal{L} $ em relação a $ x $, $ y $, $ z $ e $ \lambda $, e igualar cada uma a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
Calculando as derivadas:
L
x
y
z

Passo 4

Vamos resolver as primeiras três equações para $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ \lambda $:
Da primeira equação:
x
Da segunda equação:
y
Da terceira equação:
z

Passo 5

Agora, substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ na restrição $ x^{2} + 2y^{2} + 6z^{2} = 1 $:
x
Calculando cada termo:
y
Simplificando:
z
x^2 + 2y^2 + 6z^2 = 1
(32lambda)^2 + 2(12lambda)^2 + 6(13lambda)^2 = 1
94lambda^2 + 2 cdot 14lambda^2 + 6 cdot 19lambda^2 = 94lambda^2 + 24lambda^2 + 69lambda^2 = 9 + 2 + 69 cdot 44lambda^2 = 114lambda^2 + 69lambda^2
114lambda^2 + 23lambda^2 = 1

Passo 6

Com $ \lambda $ encontrado, substituímos de volta em $ x $, $ y $ e $ z $:
Para $ \lambda = \sqrt{\frac{41}{12}} $:
lambda
x
y
Para $ \lambda = -\sqrt{\frac{41}{12}} $, os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ serão os negativos.

Resposta

Os valores máximos e mínimos de $ f(x, y, z) $ são $ \pm \sqrt{41} $.

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