Encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada para as funções dadas.
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar os pontos críticos de
e usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para dizer se cada ponto é máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem (gradiente). Usando produto e cadeia,
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Passo 3
Agora resolvemos o sistema
e
. Como há fatores em produto, só temos duas possibilidades simultâneas:
-
e ⇒ ponto . -
e ⇒ e , dando os quatro pontos $ (\pm1/\sqrt2,\pm1/\sqrt2)$.
Passo 4
Em seguida, calculemos as derivadas de segunda ordem para montar o Hessiano:
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Passo 5
No teste da segunda derivada calculamos o determinante do Hessiano
e olhamos o sinal de
. Avaliando em cada ponto:
• Em :
,
,
⇒
. Como
, é ponto de sela.
• Em com sinais iguais:
e
⇒
e
, logo máximos locais.
• Em com sinais opostos:
e
⇒
e
, logo mínimos locais.
• Em
• Em
• Em
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(0,0): ponto de sela.
(1/√2,1/√2) e (–1/√2,–1/√2): máximos locais.
(1/√2,–1/√2) e (–1/√2,1/√2): mínimos locais.
(0,0): ponto de sela.
(1/√2,1/√2) e (–1/√2,–1/√2): máximos locais.
(1/√2,–1/√2) e (–1/√2,1/√2): mínimos locais.