Encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada para as funções dadas.
(g) f(x, y)=x y e^-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os pontos críticos de f(x,y)=xy,e^-x^2-y^2 e usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para dizer se cada ponto é máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem (gradiente). Usando produto e cadeia,
fx=partialpartial xl(xy,e^-x^2-y^2r)=y,e^-x^2-y^2+xy,(-2x),e^-x^2-y^2=y,e^-x^2-y^2(1-2x^2)
fy=partialpartial yl(xy,e^-x^2-y^2r)=x,e^-x^2-y^2+xy,(-2y),e^-x^2-y^2=x,e^-x^2-y^2(1-2y^2)

Passo 3

Agora resolvemos o sistema fx=0 e fy=0. Como há fatores em produto, só temos duas possibilidades simultâneas:
  1. y=0 e x=0 ⇒ ponto (0,0).
  2. 1-2x^2=0 e 1-2y^2=0 x=±1/raiz2 e y=±1/raiz2, dando os quatro pontos $ (\pm1/\sqrt2,\pm1/\sqrt2)$.

Passo 4

Em seguida, calculemos as derivadas de segunda ordem para montar o Hessiano:
fxx=partialpartial x[y,e^-x^2-y^2(1-2x^2)]=y,e^-x^2-y^2(4x^3-6x)
fyy=x,e^-x^2-y^2(4y^3-6y)
fxy=partialpartial y[y,e^-x^2-y^2(1-2x^2)]=e^-x^2-y^2(1-2x^2)(1-2y^2)

Passo 5

No teste da segunda derivada calculamos o determinante do Hessiano D=fxxfyy-fxy^2 e olhamos o sinal de fxx. Avaliando em cada ponto:
• Em (0,0): fxx=0, fyy=0, fxy=1 D=0·0-1^2=-1<0. Como D<0, é ponto de sela.
• Em (±1/raiz2,±1/raiz2) com sinais iguais: fxx=fyy=-2e^-1<0 e fxy=0 D=4e^-2>0 e fxx<0, logo máximos locais.
• Em (±1/raiz2,∓1/raiz2) com sinais opostos: fxx=fyy=2e^-1>0 e fxy=0 D=4e^-2>0 e fxx>0, logo mínimos locais.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0): ponto de sela.
(1/√2,1/√2) e (–1/√2,–1/√2): máximos locais.
(1/√2,–1/√2) e (–1/√2,1/√2): mínimos locais.

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