Determine se os três pontos dados são colineares (resolva o problema de dois modos: usando o coeficiente angular e a fórmula da distância).
(1,-7),(4,2) e(2,1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se os pontos (1,-7), (4,2) e (2,1) são colineares. Vamos usar dois métodos clássicos de geometria analítica:
  1. comparar coeficientes angulares de pares de pontos;
  2. usar a fórmula da distância e verificar se a soma de duas distâncias é igual à terceira (condição de ponto intermediário).

Passo 2

Para o método do coeficiente angular, lembramos que, dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2),
m = y2 - y1x2 - x1
é o coeficiente angular da reta que os une. Calculemos:
Coeficiente angular entre A=(1,-7) e B=(4,2):
mAB = 2 - (-7)4 - 1 = 93 = 3
Coeficiente angular entre B=(4,2) e C=(2,1):
mBC = 1 - 22 - 4 = -1-2 = tfrac12
Como mAB=3neq tfrac12=mBC, as retas AB e BC têm inclinações diferentes; portanto, os três pontos não estão alinhados.

Passo 3

No método da distância, usamos a fórmula
d(P,Q) = raiz(xQ - xP)^2 + (yQ - yP)^2
Calculemos as três distâncias:
dAB = raiz(4-1)^2 + (2-(-7))^2 = raiz3^2 + 9^2 = raiz9 + 81 = raiz90,
dBC = raiz(2-4)^2 + (1-2)^2 = raiz(-2)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5,
dAC = raiz(2-1)^2 + (1-(-7))^2 = raiz1^2 + 8^2 = raiz1 + 64 = raiz65
Se B estivesse entre A e C, teríamos
dAB + dBC = dAC
Porém
raiz90 + raiz5neq raiz65,
logo não há ponto intermediário e os três pontos não são colineares.

Resposta

Os pontos (1,-7), (4,2) e (2,1) não são colineares.

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