Determine se os três pontos dados são colineares (resolva o problema de dois modos: usando o coeficiente angular e a fórmula da distância).
(1,-4),(-2,-13) e (5,8)

Passo 1

O enunciado dá três pontos P1=(1,-4), P2=(-2,-13) e P3=(5,8) e pede para verificar se eles são colineares. O conteúdo aqui é geometria analítica de reta: vamos usar (1) o coeficiente angular de retas e (2) a propriedade das distâncias em pontos colineares.

Passo 2

Para usar o coeficiente angular, calculamos primeiro a inclinação da reta que passa por P1 e P2:
m12=-13-(-4)-2-1=-9-3=3
Depois, a inclinação da reta que passa por P2 e P3:
m23=8-(-13)5-(-2)=217=3
Como ,m12=m23, isso mostra que os três pontos estão alinhados numa mesma reta.

Passo 3

Agora, usando a fórmula da distância entre dois pontos,
dl((x1,y1),(x2,y2)r) =raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2,
calculamos
d12=raiz(-2-1)^2+(-13+4)^2 =raiz9+81 =3raiz10,
d23=raiz(5+2)^2+(8+13)^2 =raiz49+441 =7raiz10,
d13=raiz(5-1)^2+(8+4)^2 =raiz16+144 =4raiz10
Note que
d12+d13 =3raiz10+4raiz10 =7raiz10 =d23,
o que confirma que um dos pontos fica exatamente entre os outros dois, ou seja, todos são colineares.

Resposta

Sim. Os pontos (1,-4), (-2,-13) e (5,8) são colineares.

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