Determine se os três pontos dados são colineares (resolva o problema de dois modos: usando o coeficiente angular e a fórmula da distância).
(12,-32),(14,-138) e(-12,-2)

Passo 1

Temos três pontos
P1l(tfrac12,-tfrac32r), P2l(tfrac14,-tfrac138r) e P3l(-tfrac12,-2r)
e queremos verificar se eles são colineares. Para isso usaremos dois métodos: 1) comparar coeficientes angulares dos segmentos P1P2 e P2P3; 2) usar a fórmula da distância e ver se a soma de dois segmentos é igual ao terceiro.

Passo 2

Método do coeficiente angular. Calculamos
m12=y2-y1x2-x1 =-tfrac138-(-tfrac32)tfrac14-tfrac12 =-tfrac138+tfrac128-tfrac14 =-tfrac18-tfrac14 =tfrac12
e
m23=y3-y2x3-x2 =-2-(-tfrac138)-tfrac12-tfrac14 =-tfrac168+tfrac138-tfrac34 =-tfrac38-tfrac34 =tfrac12
Como m12=m23, os três pontos estão sobre uma mesma reta.

Passo 3

Método da distância. Calculamos as distâncias:
d12=raizl(tfrac14-tfrac12r)^2+l(-tfrac138+tfrac32r)^2 =raizl(-tfrac14r)^2+l(-tfrac18r)^2 =raiztfrac116+tfrac164 =tfracraiz58,
d23=raizl(-tfrac12-tfrac14r)^2+l(-2+tfrac138r)^2 =raizl(-tfrac34r)^2+l(-tfrac38r)^2 =raiztfrac916+tfrac964 =tfrac3raiz58,
d13=raizl(-tfrac12-tfrac12r)^2+l(-2+tfrac32r)^2 =raiz1+tfrac14 =tfracraiz52 =tfrac4raiz58
Observamos que
d12+d23 =tfracraiz58+tfrac3raiz58 =tfrac4raiz58 =d13,
logo os três pontos também formam um segmento “deitado” sem área de triângulo, confirmando a colinearidade.

Resposta

Os pontos são colineares.

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