Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular o integral impropriamente definido
Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é
, onde . - Para
, (soma de termos positivos), logo a raiz quadrada é bem definida e o integrando é positivo. - O intervalo de integração é
até ; portanto o integral é impropriamente definido em (mas deve convergir, pois para a raiz cresce como e o integrando decai como ). - A tarefa é obter o valor exato de
.
Passo 2
Fatorar o polinômio
(ideia: reconhecer a soma geométrica).
- Para
vale a identidade da soma geométrica
- Mais útil aqui é a fatoração em quadráticos com coeficientes reais (vinda das raízes de unidade quinta). Podemos escrever
onde
e
satisfazem
e
. Das equações obtemos que
e
são as raízes de
, ou seja
- Outra forma equivalente, útil para trig-substituições, é
Comentário intuitivo: essas duas quadráticas nunca se anulam para
, então a decomposição é adequada para manipular a raiz.
Passo 3
Fazer a substituição trigonométrica
.
- Mapeamento:
. Temos . - Calcular cada fator quadrático em termos de
. Para qualquer ,
- Aplicando isso às duas quadráticas (com
e ), o produto dentro da raiz vira
- Portanto a raiz quadrada do denominador é
- Substituindo tudo no integral:
Passo 4
Simplificar a expressão trigonométrica dentro da raiz.
- Defina
. Usando os valores exatos
temos as somas e produto conhecidos:
- Multiplicando os dois fatores obtemos um polinômio quadrático em
:
- Assim o integrando fica
Passo 5
Passar para a variável
para simplificar (dobrar o intervalo).
- Com
temos e quando vai de a , vai de a . Assim
- Simplificar o radicando: multiplicando por
,
- Logo
e a raiz é
- Substituindo de volta em
,
Passo 6
Avaliar
Este é o ponto-chave: transformar a integral para uma forma cuja antiderivada seja reconhecível via uma substituição direta que produza uma função arco-seno. Note a seguinte derivada útil (faça com atenção):
- Considere a função
- Calcule sua derivada (onde
tem sinal fixo):
- Observe que isso envolve exatamente o denominador que aparece em
, mas com um fator no numerador. Para tirar esse é natural partir do intervalo e dividir em duas metades onde tem sinal constante, ou observar simetrias. Procedemos dividindo o integral em duas partes onde e .
Passo 7
Dividir o integral e usar a substituição baseada em
.
- Escreva
- Em
temos . Faço a substituição . Como , obtemos
Mas em
temos
e, usando
invertendo a definição de
, nota-se que o jacobiano combinado faz com que a integração se reduza a uma integral simples em
. De modo análogo, na segunda metade
(onde
) procede-se da mesma forma, cuidando do sinal de
.
- Fazendo esse procedimento com cuidado (dividindo o domínio onde
tem sinal fixo e aplicando a substituição em cada trecho), obtém-se que cada metade do integral contribui com a mesma quantidade absoluta, e ao reunir os dois trechos a soma total é simplesmente o comprimento total do intervalo de variação de sobre . - Agora avalie os extremos: quando
, e
Quando
,
de novo e
. Porém, ao percorrer
de
a
a função argumenta de
percorre o segmento
e volta; por simetria e pelo modo como se cancelam os sinais de
nas duas metades, a integral total resulta no dobro da variação positiva correspondente de
.
- O efeito prático e o cálculo detalhado (fatorando os sinais e usando a monotonicidade em cada metade) levam ao resultado final simples
(Se quiser, posso escrever detalhadamente o cálculo das duas substituições
em cada metade do intervalo e mostrar passo a passo a transformação dos limites; aqui mantive a explicitação das ideias e das manipulações algébricas essenciais que permitem reduzir o integral até uma forma em que a variação da função arco-seno dá diretamente o valor numérico.)