Determine os três últimos algarismos de 7{ }^{9999}.

Passo 1

O objetivo é encontrar os três últimos dígitos de 7^{9999}, isto é, calcular
7^{9999}\bmod 1000.
Como 1000 = 2^3\cdot5^3, vamos separar em duas congruências (“mod 8” e “mod 125”) e depois combinar via CRT.

Passo 2

Calcular 7^{9999}\bmod 8. Observando que
7\equiv -1\pmod{8},
temos
7^{9999}\equiv(-1)^{9999}\equiv -1\equiv 7\pmod{8}.

Passo 3

Calcular 7^{9999}\bmod 125. Como \gcd(7,125)=1 e \varphi(125)=100, o Teorema de Euler dá
7^{100}\equiv1\pmod{125}.
Logo basta reduzir o expoente:
9999\equiv 9999\bmod100 =99,
então
7^{9999}\equiv7^{99}\pmod{125}.

Passo 4

Para 7^{99}\bmod125, notamos primeiro que
7^{10}\equiv124\pmod{125} \quad\Longrightarrow\quad 7^{20}\equiv124^2\equiv1\pmod{125}.
Como 99=20\cdot4+19, obtemos
7^{99}\equiv7^{19}\pmod{125}.
Agora calculamos 7^{19} em etapas:
7^5\equiv57,\quad 7^{10}\equiv124,\quad 7^4\equiv26\pmod{125},
então
7^{19}=7^{10}\cdot7^5\cdot7^4\equiv124\cdot57\cdot26\equiv18\pmod{125}.

Passo 5

Temos o sistema
x\equiv7\pmod{8}, \qquad x\equiv18\pmod{125}.
Escrevendo x=125a+18 e reduzindo em módulo 8:
125a+18\equiv5a+2\equiv7\pmod{8} \quad\Longrightarrow\quad 5a\equiv5\pmod{8} \quad\Longrightarrow\quad a\equiv1\pmod{8}.
Tomando a=1 vem
x=125\cdot1+18=143,
ou seja
x\equiv143\pmod{1000}.

Resposta

143

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