Determine os três últimos algarismos de
.
Passo 1
O objetivo é encontrar os três últimos dígitos de
, isto é, calcular
Como
, vamos separar em duas congruências (“mod 8” e “mod 125”) e depois combinar via CRT.
Passo 2
Calcular
. Observando que
temos
Passo 3
Calcular
. Como
e
, o Teorema de Euler dá
Logo basta reduzir o expoente:
então
Passo 4
Para
, notamos primeiro que
Como
, obtemos
Agora calculamos
em etapas:
então
Passo 5
Temos o sistema
Escrevendo
e reduzindo em módulo 8:
Tomando
vem
ou seja
Resposta
143