(a) Seja p um primo diferente de 3. Prove que o número 111 \ldots 11 ( p algarismos 1) não é divisível por p.
(b) Seja p>5 um primo. Prove que o número 111 \ldots 11 ( p-1 algarismos 1) é divisível por p.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a divisibilidade por um primo p de números formados apenas por algarismos 1, chamados de repunit.
(a) Para p\neq3 primo, mostrar que o repunit com p algarismos 1 não é divisível por p.
(b) Para p>5 primo, mostrar que o repunit com p-1 algarismos 1 é divisível por p.
Conteúdo usado: expressão do repunit em termos de potências de 10 e o Pequeno Teorema de Fermat.

Passo 2

Definimos o repunit com n algarismos 1 por
R_n = 111\ldots1 \quad(n\text{ vezes})\,.
Uma forma algébrica é
R_n = \frac{10^n - 1}{9}.
Para verificar se um primo p divide R_n basta ver se p divide 10^n - 1, desde que \gcd(p,9)=1. Note que
  • em (a) temos p\neq3, logo \gcd(p,9)=1,
  • em (b) temos p>5, logo p\neq2,3,5 e também \gcd(p,9)=1 e \gcd(p,10)=1.

Passo 3

Prova de (a): suponha, por contradição, que p\mid R_p. Então p\mid 10^p - 1.
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, como \gcd(10,p)=1 (já que p\neq2,5), vale
10^p \equiv 10 \pmod p.
Logo
10^p - 1 \equiv 10 - 1 = 9 \pmod p.
Se p\mid 10^p -1 então p\mid9, e isso força p=3. Mas assumimos p\neq3. Contradição. Portanto p não divide R_p.

Passo 4

Prova de (b): queremos ver que p\mid R_{p-1}. Como p>5, temos \gcd(10,p)=1, então o Pequeno Teorema de Fermat dá
10^{p-1}\equiv1\pmod p \quad\Longrightarrow\quad 10^{p-1}-1\equiv0\pmod p.
Logo p\mid(10^{p-1}-1). Como \gcd(p,9)=1, segue que p também divide
R_{p-1}=\frac{10^{p-1}-1}{9}.
Portanto o repunit com p-1 algarismos 1 é divisível por p.

Resposta

(a) O repunit com p algarismos 1 não é divisível por p.
(b) O repunit com p-1 algarismos 1 é divisível por p.

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