(a) Seja
um primo diferente de 3. Prove que o número
(
algarismos 1) não é divisível por
.
(b) Seja
um primo. Prove que o número
(
algarismos 1) é divisível por
.
(b) Seja
Passo 1
O enunciado pede para estudar a divisibilidade por um primo
de números formados apenas por algarismos 1, chamados de repunit.
(a) Para primo, mostrar que o repunit com
algarismos 1 não é divisível por
.
(b) Para primo, mostrar que o repunit com
algarismos 1 é divisível por
.
Conteúdo usado: expressão do repunit em termos de potências de 10 e o Pequeno Teorema de Fermat.
(a) Para
(b) Para
Conteúdo usado: expressão do repunit em termos de potências de 10 e o Pequeno Teorema de Fermat.
Passo 2
Definimos o repunit com
algarismos 1 por
Uma forma algébrica é
Para verificar se um primo
divide
basta ver se
divide
, desde que
. Note que
- em (a) temos
, logo , - em (b) temos
, logo e também e .
Passo 3
Prova de (a): suponha, por contradição, que
. Então
.
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, como (já que
), vale
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, como
Logo
Se
então
, e isso força
. Mas assumimos
. Contradição. Portanto
não divide
.
Passo 4
Prova de (b): queremos ver que
. Como
, temos
, então o Pequeno Teorema de Fermat dá
Logo
. Como
, segue que
também divide
Portanto o repunit com
algarismos 1 é divisível por
.
Resposta
(a) O repunit com
algarismos 1 não é divisível por
.
(b) O repunit com algarismos 1 é divisível por
.
(b) O repunit com