Determine o triângulo isósceles de área máxima inscrito em uma circunferência de raio 2 m .

Passo 1

O problema quer o triângulo isósceles inscrito em uma circunferência de raio 2 m que tem área máxima. Vamos usar conceitos de trigonometria e otimização de funções para resolver.

Passo 2

Denotemos por α cada um dos ângulos na base do triângulo e por γ o ângulo do vértice oposto à base. Como soma dos ângulos internos é π, temos γ = π − 2α. Pela lei dos senos em uma circunferência de raio R=2 m, os lados correspondentes são a = 2R
sinα = 4
sinα (lados iguais) e b = 2R
sinγ = 4
sin(π − 2α) = 4
sin2α (base).

Passo 3

A área do triângulo em função de α pode ser obtida por A = (1/2)·a·a·sinγ. Substituindo a e γ,
A(α) = tfrac12 l(4,sinαr)^2 sin(π-2α) = 8,sin^2α,sin2α
Usando sin2α=2sinαcosα,
A(α) = 8,sin^2α,(2sinαcosα) = 16,sin^3α,cosα

Passo 4

Para maximizar A(α) em α∈(0,π/2), derivamos e igualamos a zero:
A'(α) = 16,sin^2αl(3cos^2α - sin^2αr) = 0 ;Rightarrow; 3cos^2α = sin^2α ;Rightarrow; tan^2α = 3 ;Rightarrow; α = π/3
Isso dá γ = π − 2α = π/3, ou seja, todos os ângulos iguais a 60°: o triângulo é equilátero.

Passo 5

O valor máximo da área é então
Amax = 16,sin^3(π/3),cos(π/3) = 16,(tfracraiz32)^3(tfrac12) = 3raiz3

Resposta

O triângulo isósceles de área máxima é, na verdade, o triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio 2 m, e sua área máxima é 3√3 m².

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