Determine o triângulo isósceles de área máxima inscrito em uma circunferência de raio 2 m .
Passo 1
O problema quer o triângulo isósceles inscrito em uma circunferência de raio 2 m que tem área máxima. Vamos usar conceitos de trigonometria e otimização de funções para resolver.
Passo 2
Denotemos por α cada um dos ângulos na base do triângulo e por γ o ângulo do vértice oposto à base. Como soma dos ângulos internos é π, temos γ = π − 2α. Pela lei dos senos em uma circunferência de raio R=2 m, os lados correspondentes são a = 2R
sinα = 4
sinα (lados iguais) e b = 2R
sinγ = 4
sin(π − 2α) = 4
sin2α (base).
sinα = 4
sinα (lados iguais) e b = 2R
sinγ = 4
sin(π − 2α) = 4
sin2α (base).
Passo 3
A área do triângulo em função de α pode ser obtida por A = (1/2)·a·a·sinγ. Substituindo a e γ,
Usando
,
Passo 4
Para maximizar A(α) em α∈(0,π/2), derivamos e igualamos a zero:
Isso dá γ = π − 2α = π/3, ou seja, todos os ângulos iguais a 60°: o triângulo é equilátero.
Passo 5
O valor máximo da área é então
Resposta
O triângulo isósceles de área máxima é, na verdade, o triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio 2 m, e sua área máxima é 3√3 m².