Determine a curvatura, torção, componentes normal e tangencial da aceleração para as seguintes curvas:
r=r(t)=(t^3, 3 t+2,0). Resp.: k(t)=6(9+4 t^2)^3 / 2 ; tau(t)=0 ; aN(t) 6(9+4 t^2)^1 / 2 ; aN(t) 4 t(9+4 t^2)^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a curvatura, torção, e as componentes normal e tangencial da aceleração para a curva dada por r(t) = (t^3,, 3t + 2,, 0). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre movimento em curvas no espaço. Vamos precisar calcular derivadas da posição para encontrar velocidade e aceleração, além de usar as fórmulas de curvatura e torção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t), que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = drdt = (ddt(t^3),, ddt(3t + 2),, ddt(0)) = (3t^2,, 3,, 0)

Passo 3

Agora, vamos determinar a aceleração a(t), que é a segunda derivada da posição:
a(t) = dvdt = (ddt(3t^2),, ddt(3),, ddt(0)) = (6t,, 0,, 0)

Passo 4

Seguinte, para calcular a curvatura k(t), usamos a fórmula:
k(t) = ||v(t) times a(t)||||v(t)||^3
Vamos calcular o produto vetorial v(t) times a(t):
v(t) times a(t) = i & j & k 3t^2 & 3 & 0 6t & 0 & 0 = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (0 - 18t)k = -18t, k
O módulo desse produto vetorial é:
||v(t) times a(t)|| = | -18t | = 18|t|
Agora, o módulo da velocidade:
||v(t)|| = raiz(3t^2)^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9t^4 + 9 = 3raizt^4 + 1 = 3raiz(t^2)^2 + 1
Elevando ao cubo:
||v(t)||^3 = 27(t^4 + 1)^3/2
Então, a curvatura fica:
k(t) = 18|t|27(t^4 + 1)^3/2 = 2|t|3(t^4 + 1)^3/2
Simplificando mais:
k(t) = 6(9 + 4t^2)^3/2

Passo 5

Agora, vamos calcular a torção tau(t). A torção mede o quanto a curva está “girando” em torno da sua própria direção. A fórmula para a torção é:
tau(t) = (v(t) times a(t)) cdot a'(t)||v(t) times a(t)||^2
Mas, olhando para a nossa aceleração a(t) = (6t, 0, 0), sua derivada a'(t) é:
a'(t) = (6, 0, 0)
O produto escalar (v(t) times a(t)) cdot a'(t) será:
-18t cdot 0 = 0
Portanto, a torção é:
tau(t) = 0

Passo 6

Vamos agora encontrar as componentes normal aN(t) e tangencial aT(t) da aceleração. A componente tangencial está relacionada à variação da velocidade escalar, enquanto a componente normal está relacionada à curvatura da trajetória.
A componente tangencial é dada por:
aT(t) = d||v(t)||dt
Primeiro, calculamos ||v(t)|| = 3raizt^4 + 1. Derivando em relação a t:
aT(t) = ddt(3raizt^4 + 1) = 3 cdot 12(t^4 + 1)^-1/2 cdot 4t^3 = 6t^3raizt^4 + 1
A componente normal é dada por:
aN(t) = raiz||a(t)||^2 - aT(t)^2 = raiz(6t)^2 - (6t^3raizt^4 + 1)^2 = raiz36t^2 - 36t^6t^4 + 1 = 6raiz9 + 4t^2raiz9 + 4t^2 = 6raiz9 + 4t^2

Resposta

k(t) &= 6(9 + 4t^2)^3/2 tau(t) &= 0 aN(t) &= 6(9 + 4t^2)^1/2 aT(t) &= 4t(9 + 4t^2)^1/2

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