Determine a curvatura, torção, componentes normal e tangencial da aceleração para as seguintes curvas: . Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a curvatura, torção, e as componentes normal e tangencial da aceleração para a curva dada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre movimento em curvas no espaço. Vamos precisar calcular derivadas da posição para encontrar velocidade e aceleração, além de usar as fórmulas de curvatura e torção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade , que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos determinar a aceleração , que é a segunda derivada da posição:
Passo 4
Seguinte, para calcular a curvatura , usamos a fórmula:
Agora, vamos calcular a torção tau(t). A torção mede o quanto a curva está “girando” em torno da sua própria direção. A fórmula para a torção é:
tau(t) = (v(t) times a(t)) cdot a'(t)||v(t) times a(t)||^2
Mas, olhando para a nossa aceleração a(t) = (6t, 0, 0), sua derivada a'(t) é:
a'(t) = (6, 0, 0)
O produto escalar (v(t) times a(t)) cdot a'(t) será:
-18t cdot 0 = 0
Portanto, a torção é:
tau(t) = 0
Passo 6
Vamos agora encontrar as componentes normal aN(t) e tangencial aT(t) da aceleração. A componente tangencial está relacionada à variação da velocidade escalar, enquanto a componente normal está relacionada à curvatura da trajetória.
A componente tangencial é dada por:
aT(t) = d||v(t)||dt
Primeiro, calculamos ||v(t)|| = 3raizt^4 + 1. Derivando em relação a t: