Nos exercícios a seguir, mostre que a equação diferencial é exata e resolva apli-cando as condições iniciais indicadas…
l(y^2 cos x-3 x^2 y-2 x) d x+(2 y sen x-x^3+ln y) d y=0 y(0)=e

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(y^2cos x - 3x^2y - 2xr),dx ;+;l(2ysin x - x^3 + ln yr),dy = 0
com condição inicial y(0)=e.
Conteúdo: equações diferenciais exatas.
O plano é:
  1. Identificar M(x,y) e N(x,y).
  2. Verificar se partial M/partial y = partial N/partial x.
  3. Encontrar a função potencial Psi(x,y).
  4. Ajustar constante usando y(0)=e.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = y^2cos x ;-;3x^2y ;-;2x, N(x,y) = 2ysin x ;-;x^3 ;+;ln y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2ycos x ;-;3x^2, partial Npartial x = 2ycos x ;-;3x^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y)
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Psi(x,y) = integral l(y^2cos x - 3x^2y -2xr),dx = y^2sin x ;-;y,x^3;-;x^2 ;+;h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Agora impomos
partial Psipartial y = 2ysin x ;-;x^3 ;+;h'(y) ;=;N(x,y) =2ysin x ;-;x^3 ;+;ln y
Daí vem
h'(y) = ln y Longrightarrow h(y) = integral ln y,dy = yln y ;-;y
Logo a potencial completa é
Psi(x,y) = y^2sin x ;-;x^3y ;-;x^2 ;+;yln y ;-;y

Passo 5

A solução geral implícita é
Psi(x,y) = C,
isto é,
y^2sin x ;-;x^3y ;-;x^2 ;+;yln y ;-;y = C

Passo 6

Usamos y(0)=e: ao substituir x=0, y=e, temos
e^2sin0 ;-;0 ;-;0 ;+;eln e ;-;e = 0 + ecdot1 - e = 0,
logo C=0.

Resposta

A solução que satisfaz y(0)=e é dada implicitamente por
boxed,y^2sin x ;-;x^3y ;-;x^2 ;+;yln y ;-;y = 0

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