Nos exercícios a seguir, mostre que a equação diferencial é exata e resolva apli-cando as condições iniciais indicadas…
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
.
Conteúdo: equações diferenciais exatas.
O plano é:
Conteúdo: equações diferenciais exatas.
O plano é:
- Identificar
e . - Verificar se
. - Encontrar a função potencial
. - Ajustar constante usando
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é função arbitrária de
.
Passo 4
Agora impomos
Daí vem
Logo a potencial completa é
Passo 5
A solução geral implícita é
isto é,
Passo 6
Usamos
: ao substituir
,
, temos
logo
.
Resposta
A solução que satisfaz
é dada implicitamente por