If the material fails when the average normal stress reaches 120 psi , determine the largest centrally applied vertical load \mathbf{P} the block can support.

Passo 1

O enunciado diz: “Se o material falha quando a tensão normal média atinge 120\\ \text{psi}, determine a maior carga vertical central \mathbf{P} que o bloco pode suportar.”
Informações que temos explicitamente:
  • Tensão normal média de falha: \sigma_{\text{falha}} = 120\\ \text{psi}.
  • A carga é vertical e aplicada no centro (ou seja, não há excentricidade que gere momento de flexão).
Informação que falta e que é necessária para um valor numérico: a área da seção transversal na qual a carga atua (vou chamar essa área de A). Essa área normalmente vem de um desenho do bloco (dimensões: largura, espessura ou raio, dependendo da forma). Como a figura/dimensões do bloco não foi enviada, não é possível calcular um valor numérico para P. Portanto vou mostrar o método completo e um exemplo numérico ilustrativo usando valores assumidos — fique tranquilo, nada será inventado para a resposta final; o resultado numérico do exemplo servirá só como demonstração do procedimento.

Passo 2

Conceito-chave: tensão normal média.
  • A tensão normal média é definida como a força normal dividida pela área sobre a qual ela atua. Em palavras simples: se uma força P for distribuída uniformemente sobre uma área A, a tensão média é “força por unidade de área”.
  • Fórmula básica (máxima importância — memorize!):
\sigma_{\text{média}} = \dfrac{P}{A}.é
Aqui:
  • \sigma_{\text{média}}é é a tensão normal média (unidade: \text{psi} = \text{lb}/\text{in}^2 no sistema inglês),
  • P é a carga normal (unidade: \text{lb} se usarmos \text{psi}),
  • A é a área da seção perpendicular à força (unidade: \text{in}^2 se \sigma em \text{psi}).
Observação sobre “centralmente aplicada”: como a carga é aplicada no centro, assumimos distribuição uniforme de tensões (nenhum momento de flexão), então usar a tensão média é adequado. Se a carga fosse excêntrica, apareceriam tensões não uniformes e o problema exigiria consideração de flexão/compressão combinadas.

Passo 3

Aplicando a condição de falha: a falha ocorre quando \sigma_{\text{média}} = 120\\ \text{psi}é. Substituindo na fórmula,
120\\ \text{psi} = \dfrac{P}{A}.
Agora isolamos P para obter a maior carga admissível:
P = 120\\ \text{psi} \times A.
Essa é a relação direta: para qualquer área A (em \text{in}^2), multiplique por 120\\ \text{psi} para obter P em \text{lb}.

Passo 4

Como obter A a partir do desenho (aqui ensino com as fórmulas mais comuns):
  • Se a seção perpendicular for retangular, com largura b e espessura t, então
A = b \times t.
  • Se a seção for circular, com raio r, então
A = \pi r^2.
  • Se a seção tiver outra forma, calcule a área geométrica correspondente (somando subáreas, usando fórmulas conhecidas, ou integrando, se necessário).
    Importante: meça b,t,r nas mesmas unidades que deseja para \text{in}^2 se for usar \text{psi}.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (APENAS EXEMPLO — esses valores são assumidos para mostrar o cálculo): suponha que a seção seja retangular com b = 4\\ \text{in} e t = 3\\ \text{in}.
Calcule a área:
A = b \times t = 4\\ \text{in} \times 3\\ \text{in} = 12\\ \text{in}^2.
Agora aplique a fórmula do Passo 3:
P = 120\\ \text{psi} \times 12\\ \text{in}^2 = 1440\\ \text{lb}.
Isto significa que, para essa seção hipotética, a maior carga central que o bloco suporta é 1440\\ \text{lb}. Repare como as unidades conferem: \text{psi}\cdot\text{in}^2 = \text{lb}.

Passo 6

Resumo prático para a prova (guia passo a passo que você pode usar na hora):
  1. Identifique a seção perpendicular à carga e determine suas dimensões no desenho.
  2. Calcule A (use A=b\cdot t para retângulos, A=\pi r^2 para círculos, etc.).
  3. Use \;P_{\max}=\sigma_{\text{falha}}\cdot A\; com \sigma_{\text{falha}}=120\\ \text{psi}.
  4. Verifique unidades — se \sigma em \text{psi}, A em \text{in}^2, o resultado de P estará em \text{lb}.
    Se o enunciado der as dimensões, faça exatamente isso e obtenha o valor numérico.

Resposta

P_{\max}=120\\ \text{psi}\times A.

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