Determine as unidades no S.I. das seguintes constantes C_{1} e C_{2}, das seguintes funções:
r=C_{1}^{-C_{2} t}

Passo 1

O enunciado fornece a função r = C_{1}^{-C_{2} t} e pede para determinar as unidades (no S.I.) das constantes C_{1} e C_{2}.
Informações dadas explicitamente:
  • A variável independente é t (tempo), que no S.I. tem unidade \mathrm{s}.
  • As incógnitas a analisar são as unidades de C_{1} e C_{2}.

Passo 2

Regra básica de consistência dimensional que vamos usar: qualquer exponencial ou potência com expoente real deve ter o expoente adimensional. Ou seja, o valor numérico que multiplica a função exponencial/potência precisa não depender de unidades físicas. Aplicando isso aqui, o expoente é -C_{2} t. Portanto devemos exigir que -C_{2} t seja adimensional.

Passo 3

A condição de adimensionalidade do expoente dá:
\text{o expoente: } -C_{2} t \quad\text{é adimensional}.é
Isso implica que as unidades de C_{2} multiplicadas pelas unidades de t dão uma quantidade adimensional. Em notação de dimensões,
\big[C_{2}\big]\,[t] = 1.
Como [t]=\mathrm{s}, segue que
\big[C_{2}\big]=\mathrm{s}^{-1}.
Logo, C_{2} tem unidades de frequência em S.I.: \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Agora analisar C_{1}. Matemática fundamental: para definir C_{1}^{x} com x real usa-se a identidade
C_{1}^{x} = \exp\big(x \ln C_{1}\big).
A função \ln(\cdot) só é matematicamente consistente (no sentido físico e adimensional) quando seu argumento é adimensional. Portanto C_{1} precisa ser adimensional (sem unidade). Em termos práticos: não faz sentido físico tomar \ln de uma grandeza com unidades porque o logaritmo não aceita unidade física.

Passo 5

Resumo didático e um exemplo rápido para fixar: se escolhemos C_{1}=2 (adimensional) e C_{2}=0{,}1\\ \mathrm{s}^{-1}, então
r = 2^{-0{,}1\,t},
com t em segundos, tudo consistente. Se C_{1} tivesse unidade, o termo \ln C_{1} seria sem sentido e a expressão não seria fisicamente válida.

Resposta

C_{1}: adimensional (sem unidade)
C_{2}: \mathrm{s}^{-1}

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