Faça ou dê a derivada da função:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
. Informações dadas:
-
e são constantes. - A função envolve
, que corresponde a . Para que isso faça sentido realmente, precisamos de (alem disso é proibido pela divisão).
Não vou resolver nada ainda; só identifiquei o que foi pedido e as condições.
Passo 2
Reescreve a função em potências (isso facilita muito a diferenciação). Vamos transformar
em potência fracionária:
Então a função fica
Usando potências,
. Logo
Passo 3
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação passo a passo):
- Regra do múltiplo constante: se
é constante e uma função, então . Isso diz que constantes saem da derivada. - Regra da potência: para qualquer expoente real
(no domínio onde tudo faz sentido), . Aqui pode ser inteiro, fracionário ou negativo — aplicamos a mesma fórmula, lembrando de cuidar do domínio.
Exemplos rápidos para fixar: -
. -
porque aplicou-se e subtraiu-se no expoente.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
. Aplicando a regra do múltiplo constante e a regra da potência:
Expliquei cada passo: a constante
fica multiplicando a derivada de
, que é
.
Passo 5
Derivada do segundo termo
. Novamente constante multiplicativa e potência:
Agora simplificando os sinais e fatores:
Observei que
ao aplicar a regra da potência, e os dois sinais negativos se cancelaram.
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos obtemos a derivada completa:
Se preferir escrever sem expoentes negativos, uma forma equivalente é
Outra forma ainda, expressando
como
, é
Passo 7
Domínio e observação final: a expressão da derivada só vale para
(mesma restrição da função original). Parabéns por ter chegado até aqui — respira fundo, reveja esses passos e tenta aplicar a mesma ideia em outros casos com potências fracionárias; é sempre a mesma regra da potência.