Faça ou dê a derivada da função:
F(x)=a x^{3}-\frac{b}{\sqrt{x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função F(x)=a x^{3}-\dfrac{b}{\sqrt{x^{3}}}. Informações dadas:
  • a e b são constantes.
  • A função envolve \sqrt{x^{3}}, que corresponde a x^{3/2}. Para que isso faça sentido realmente, precisamos de x>0 (alem disso x=0 é proibido pela divisão).
    Não vou resolver nada ainda; só identifiquei o que foi pedido e as condições.

Passo 2

Reescreve a função em potências (isso facilita muito a diferenciação). Vamos transformar \sqrt{x^{3}} em potência fracionária:
\sqrt{x^{3}}=(x^{3})^{1/2}=x^{3/2}.
Então a função fica
F(x)=a x^{3}-\dfrac{b}{x^{3/2}}.
Usando potências, \dfrac{b}{x^{3/2}}=b\,x^{-3/2}. Logo
F(x)=a x^{3}-b\,x^{-3/2}.

Passo 3

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação passo a passo):
  • Regra do múltiplo constante: se c é constante e f(x) uma função, então \dfrac{d}{dx}\bigl[c\cdot f(x)\bigr]=c\cdot f'(x). Isso diz que constantes saem da derivada.
  • Regra da potência: para qualquer expoente real n (no domínio onde tudo faz sentido), \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}. Aqui n pode ser inteiro, fracionário ou negativo — aplicamos a mesma fórmula, lembrando de cuidar do domínio.
    Exemplos rápidos para fixar:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{-3/2}\bigr)=\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)x^{-5/2} porque aplicou-se n=-\tfrac{3}{2} e subtraiu-se 1 no expoente.

Passo 4

Derivada do primeiro termo a x^{3}. Aplicando a regra do múltiplo constante e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{3}\bigr)=a\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=a\cdot 3x^{2}=3a x^{2}.
Expliquei cada passo: a constante a fica multiplicando a derivada de x^{3}, que é 3x^{2}.

Passo 5

Derivada do segundo termo -b\,x^{-3/2}. Novamente constante multiplicativa e potência:
\frac{d}{dx}\bigl(-b\,x^{-3/2}\bigr)=-b\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3/2}\bigr)=-b\cdot\Bigl(-\tfrac{3}{2}x^{-5/2}\Bigr).
Agora simplificando os sinais e fatores:
-b\cdot\Bigl(-\tfrac{3}{2}x^{-5/2}\Bigr)=\tfrac{3b}{2}\,x^{-5/2}.
Observei que -\tfrac{3}{2}-1=-\tfrac{5}{2} ao aplicar a regra da potência, e os dois sinais negativos se cancelaram.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos obtemos a derivada completa:
F'(x)=3a x^{2}+\tfrac{3b}{2}\,x^{-5/2}.
Se preferir escrever sem expoentes negativos, uma forma equivalente é
F'(x)=3a x^{2}+\dfrac{3b}{2\,x^{5/2}}.
Outra forma ainda, expressando x^{5/2} como x^{2}\sqrt{x}, é
F'(x)=3a x^{2}+\dfrac{3b}{2\,x^{2}\sqrt{x}}.

Passo 7

Domínio e observação final: a expressão da derivada só vale para x>0 (mesma restrição da função original). Parabéns por ter chegado até aqui — respira fundo, reveja esses passos e tenta aplicar a mesma ideia em outros casos com potências fracionárias; é sempre a mesma regra da potência.

Resposta

F'(x)=3a x^{2}+\tfrac{3b}{2}\,x^{-5/2}

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