Determine, usando o escalonamento e cofators, a matriz inversa da matriz apresentada na questão e na sequencia prove que a matriz.
obtida é inversa. Considere A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa de
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}
usando duas técnicas: escalonamento (eliminação de Gauss na matriz aumentada [A\mid I]) e método de cofatores (adjunta dividida pelo determinante). Depois, precisamos provar que a matriz obtida é de fato a inversa, ou seja, que
A\cdot A^{-1}=I.

Passo 2

Inversa por escalonamento. Montamos a matriz aumentada [A\mid I]:
[A\mid I] = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicamos operações elementares para chegar a [I\mid A^{-1}]. Uma sequência conveniente é:
1. R_1\leftrightarrow R_2.
2. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
3. Dividir R_2 por -2.
4. Eliminar a coluna 2 em R_1 e R_3.
5. Normalizar R_3 e eliminar coluna 3 em R_1 e R_2.
O resultado final da parte direita (onde estava I) é
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac14 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ -\tfrac14 & \tfrac12 & \tfrac14\\\ \tfrac12 & -1 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 3

Inversa pelo método de cofatores. Primeiro o determinante:
\det(A) =2\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&1\end{pmatrix} -0\cdot\bigl|\dots\bigr| +1\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&2\end{pmatrix} =2\cdot1 + 1\cdot2 = 4.
Em seguida calculamos a matriz dos cofatores C, onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Isso dá
C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 2 & 2 & -4\\\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
A adjunta é \operatorname{adj}(A)=C^{T}, logo
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ -1 & 2 & 1\\\\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}.
Por fim
A^{-1} = \frac1{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac14 \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ -1 & 2 & 1\\\\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac14 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ -\tfrac14 & \tfrac12 & \tfrac14\\\ \tfrac12 & -1 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para provar que essa matriz é mesmo a inversa basta confirmar que
A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac14 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ -\tfrac14 & \tfrac12 & \tfrac14\\\ \tfrac12 & -1 & \tfrac12 \end{pmatrix} = I_3.
Fazendo a multiplicação linha \times coluna vemos que cada elemento fora da diagonal fica zero e cada diagonal fica 1, confirmando que A^{-1} está correta.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac14 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ -\tfrac14 & \tfrac12 & \tfrac14\\\ \tfrac12 & -1 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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