Determine os valores de x na matriz \left[\begin{array}{cccc}1 & x & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & x & 0 \\\\ -1 & -1 & x & 1 \\\\ 0 & 0 & -2 & 0\end{array}\right] que a torna uma matriz singular, isto é, com determinante igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & x & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & x & 0\\\\ -1 & -1 & x & 1\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}
é singular, isto é, satisfaz \det(A)=0. Vamos usar a propriedade de que, se duas linhas de uma matriz são proporcionais ou se existe uma linha nula, então o determinante é zero.

Passo 2

Considere o caso x\neq 0. As linhas 2 e 4 de A são
\text{linha 2}=(0,\;0,\;x,\;0), \qquad \text{linha 4}=(0,\;0,\;-2,\;0).
Como x\neq 0, vemos que
(0,0,-2,0) = \frac{-2}{x}\,(0,0,x,0),
logo a linha 4 é proporcional à linha 2. Portanto, para todo x\neq 0, \det(A)=0.

Passo 3

Considere agora x=0. Nesse caso a linha 2 torna-se
(0,0,0,0),
ou seja, uma linha nula. Qualquer matriz com uma linha nula tem determinante zero, logo \det(A)=0 também quando x=0.

Resposta

A matriz é singular para todo x\in\mathbb{R}.

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