Exercício 17 Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
?
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais dos conjuntos dados em
são subespaços vetoriais. Vamos lembrar que, para um subconjunto
ser subespaço, ele deve satisfazer três propriedades:
- Conter o vetor zero.
- Ser fechado sob soma de vetores.
- Ser fechado sob multiplicação por escalares.
Aqui temos apenas o conjunto
Vamos checar as três propriedades para
.
Passo 2
Verificar se o vetor zero
pertence a
. Como em
temos
, claramente
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma. Sejam
Então
e como
, o vetor
também satisfaz a condição de
. Logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
e como
, segue que
.
Passo 5
Concluímos que
contém o zero, é fechado sob soma e sob produto por escalar. Portanto,
é de fato um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto
é subespaço de
.