Exercício 17 Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de \mathbb{R}^{3} ?
G=\{(x, y, z) \mid x=y=z\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos conjuntos dados em \mathbb{R}^3 são subespaços vetoriais. Vamos lembrar que, para um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 ser subespaço, ele deve satisfazer três propriedades:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob soma de vetores.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalares.
    Aqui temos apenas o conjunto
G = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = y = z\}.
Vamos checar as três propriedades para G.

Passo 2

Verificar se o vetor zero (0,0,0) pertence a G. Como em (0,0,0) temos 0=0=0, claramente (0,0,0)\in G.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Sejam
u=(t,t,t)\in G \quad\text{e}\quad v=(s,s,s)\in G.
Então
u+v=(t+s,\;t+s,\;t+s),
e como (t+s)=(t+s)=(t+s), o vetor u+v também satisfaz a condição de G. Logo u+v\in G.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(t,t,t)\in G. Então
\alpha\,u=(\alpha t,\;\alpha t,\;\alpha t),
e como \alpha t=\alpha t=\alpha t, segue que \alpha\,u\in G.

Passo 5

Concluímos que G contém o zero, é fechado sob soma e sob produto por escalar. Portanto, G é de fato um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

O conjunto G é subespaço de \mathbb{R}^3.

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