Conjecture a respeito da solução do sistema linear apresentado na questão. Determine o valor de PC (Posto da matriz de coeficientes), de PA (Posto da matriz aumentada) e o grau de liberdade (GL) do sistema, informando a partir destes dados se o sistema tem ou não solução. Caso o sistema seja determinado, apresente a solução utilizando qualquer método de escalonamento estudado na disciplina
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+y+z=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de três equações e três incógnitas
\begin{cases} x + 2y - z = 2,\\\\ 2x - y + z = 3,\\\ x + y + z = 6, \end{cases}
e pede para determinar o posto da matriz de coeficientes (PC), o posto da matriz aumentada (PA) e o grau de liberdade (GL), além de concluir sobre existência de solução. Se o sistema for determinado, devemos encontrar a solução por escalonamento (eliminação de Gauss).

Passo 2

Construímos a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada \tilde A:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \tilde A = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -1 & 1 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right).
Para achar o posto de A, calculamos seu determinante:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}2&-1\\\ 1&1\end{pmatrix} = -2 - 2 - 3 = -7.
Como \det(A)\neq0, concluímos que \mathrm{PC} = 3.

Passo 3

Se \mathrm{PC}=3 e não há linha contraditória na matriz aumentada, então \mathrm{PA}=3. O número de incógnitas é n=3, logo o grau de liberdade é
\mathrm{GL} = n - \mathrm{PC} = 3 - 3 = 0.
Como \mathrm{PC}=\mathrm{PA}, o sistema é compatível, e como \mathrm{GL}=0, é determinado (tem solução única).

Passo 4

Agora resolvemos por escalonamento. Partindo de
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -1 & 1 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right),
fazemos R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -5 & 3 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 & 4 \end{array}\right).
Em seguida, R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{5}R_2:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -5 & 3 & -1\\\\ 0 & 0 & \tfrac{7}{5} & \tfrac{21}{5} \end{array}\right).
Da terceira linha vem
\tfrac{7}{5}\,z = \tfrac{21}{5} \quad\Longrightarrow\quad z=3.
Substituindo na segunda linha:
-5\,y + 3\cdot3 = -1 \quad\Longrightarrow\quad -5\,y = -10 \quad\Longrightarrow\quad y=2.
Finalmente, na primeira equação:
x + 2\cdot2 - 3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x +1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Resposta

PC =3
PA =3
GL =0
O sistema é determinado e sua solução única é
(x,y,z) = (1,\,2,\,3).

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