Determine, usando integrais, a área da superfície:
A área da superfície da esfera dada pela equação x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície da esfera definida por x^2+y^2+z^2=4.
O conteúdo é integral de superfície em cálculo de várias variáveis, usando parametrização com coordenadas esféricas.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio 2 por
r(phi,theta)=l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir),
onde phiin[0,pi] é o ângulo polar e thetain[0,2pi] é o ângulo azimutal.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e o elemento de área:
rphi =l(2cosphicostheta,;2cosphisintheta,;-2sinphir),
rtheta =l(-2sinphisintheta,;2sinphicostheta,;0r)
O produto vetorial tem magnitude
l|rphitimesrthetar| =4sinphi
Assim o elemento de área é dS=4sinphi,dphi,dtheta.

Passo 4

Integramos sobre todo o domínio phiin[0,pi], thetain[0,2pi]:
Área =integral0^2pi!integral0^pi4sinphi,dphi,dtheta =4integral0^2pidtheta;integral0^pisinphi,dphi Á
Calculando,
integral0^pisinphi,dphi =[-,cosphi]0^pi =2, integral0^2pidtheta =2pi,
logo
Área =4cdot2picdot2 =16pi Á

Resposta

A área da superfície da esfera x^2+y^2+z^2=4 é 16pi.

Exercícios relacionados