Use o Teorema de Green para calcular as integrais de linha ao longo da curva dada com orientação positiva:
integralC y d x-x d y, onde C é o círculo de raio 2 e centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC y,dx - x,dy
onde C é o círculo de raio 2 centrado na origem, com orientação positiva. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D interna a C.

Passo 2

No enunciado a forma diferencial é
P,dx + Q,dy
com
P = y, Q = -x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias no Teorema de Green:
partial Qpartial x = -1
partial Ppartial y = 1
Logo, o integrando do Teorema de Green é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -1 - 1 = -2

Passo 4

A região D é o disco de raio 2, cuja área é
Area(D) = pi cdot 2^2 = 4pi
Pelo Teorema de Green,
integralC y,dx - x,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
como o integrando é constante -2,
integral duplaD(-2),dA = -2 integral duplaDdA = -2 cdot 4pi = -8pi

Resposta

-8pi

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