Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 x e^2 x, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 2y' - 3y = 3x e^2x,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvemos primeiro a equação homogênea associada
yh'' - 2yh' - 3yh = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0
cuja solução é r=3 ou r=-1. Logo
yh(x) = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Para a solução particular (yp) agendamos
yp(x) = (Ax + B),e^2x
Calculamos as derivadas:
yp' = l(A + 2(Ax + B)r)e^2x = (2Ax + A + 2B),e^2x,
yp'' = l(2A + 2(2Ax + A + 2B)r)e^2x = (4Ax + 4A + 4B),e^2x

Passo 4

Substituindo na equação original:
yp'' - 2yp' - 3yp = e^2xl[(4Ax+4A+4B)-2(2Ax+A+2B)-3(Ax+B)r] = e^2xl(-3A,x + (2A-3B)r)
Como isso deve igualar 3x e^2x, igualamos coeficientes:
-3A = 3, 2A - 3B = 0
implies A=-1, B=-tfrac23

Passo 5

A solução geral da EDO não homogênea é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x - l(x + tfrac23r)e^2x
Derivando, obtemos
y'(x) = 3C1 e^3x - C2 e^-x + l(-2x - tfrac73r)e^2x

Passo 6

Usamos y(0)=1 e y'(0)=0:
y(0)=C1 + C2 - tfrac23 = 1, y'(0)=3C1 - C2 - tfrac73 = 0
Resolvendo
C1 + C2 = tfrac53, 3C1 - C2 = tfrac73,
vêm
C1 = 1, C2 = tfrac23

Resposta

y(x) = e^3x + tfrac23,e^-x ;-;l(x + tfrac23r)e^2x

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