Determine, usando o método dos coeficientes a determinar, uma solução particular de:
y^prime+3 y=x^3-1

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 3y = x^3 - 1
usando o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 3, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 3.

Passo 2

Adotamos o ansatz
yp(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d,
onde a, b, c e d são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos a derivada de yp:
yp'(x) = 3a x^2 + 2b x + c

Passo 4

Substituímos yp e yp' na equação y' + 3y = x^3 - 1:
yp' + 3yp = l(3a x^2 + 2b x + cr) + 3l(a x^3 + b x^2 + c x + dr)
Agrupando termos semelhantes, obtemos
yp' + 3yp = 3a,x^3 + (3a + 3b),x^2 + (2b + 3c),x + (c + 3d)

Passo 5

Igualamos os coeficientes de cada potência de x ao polinômio do lado direito x^3 - 1, ou seja,
3a = 1, 3a + 3b = 0, 2b + 3c = 0, c + 3d = -1

Passo 6

Resolvendo o sistema:
3a = 1 ;Longrightarrow; a = tfrac13,
3l(tfrac13r) + 3b = 0 ;Longrightarrow; 1 + 3b = 0 ;Longrightarrow; b = -tfrac13,
2l(-tfrac13r) + 3c = 0 ;Longrightarrow; -tfrac23 + 3c = 0 ;Longrightarrow; c = tfrac29,
tfrac29 + 3d = -1 ;Longrightarrow; 3d = -1 - tfrac29 = -tfrac119 ;Longrightarrow; d = -tfrac1127

Resposta

Uma solução particular é
yp(x) = tfrac13x^3 ;-;tfrac13x^2;+;tfrac29x;-;tfrac1127

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