Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
w=x e^2 t, x=t^2, y=1-t, z=1+2 t

Passo 1

O enunciado define w = x,e^2t com x = t^2 e z = 1 + 2t. Queremos encontrar dwdt usando a Regra da Cadeia e dzdt pela derivação direta.

Passo 2

Para aplicar a Regra da Cadeia a w(x,t) usamos
dwdt = partial wpartial x,dxdt + partial wpartial t
Calculamos as derivadas parciais:
partial wpartial x = e^2t,
partial wpartial t = xcdot 2e^2t

Passo 3

Derivando x(t)=t^2:
dxdt = 2t

Passo 4

Substituindo em dwdt:
dwdt = e^2tcdot 2t + xcdot 2e^2t = 2te^2t + 2t^2e^2t = 2t(1+t)e^2t

Passo 5

Como z(t)=1+2t, basta derivar diretamente:
dzdt = 2

Resposta

dwdt = 2t(1+t)e^2t, dzdt = 2

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