Usando método da redução de ordem, determine a solução geral de:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
Para resolver usamos o método da redução de ordem: primeiro encontramos a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
Colocamos em forma padrão dividindo por
:
Procuramos uma solução
da homogênea
Testando
temos
logo
é solução.
Passo 3
Para achar a segunda solução usamos redução de ordem: definimos
Na forma padrão
temos
. A fórmula para
é
Integrando dá
(constante absorvida em
), logo
As duas soluções lineares independentes da homogênea são
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular da não homogênea. Como o termo
coincide com uma solução da homogênea, tentamos
Calculamos as derivadas:
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Queremos isso igual a
, então
. Assim
Passo 6
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular: