Usando método da redução de ordem, determine a solução geral de:
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=4 x^2, x>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^2y''-2x,y'+2y=4x^2, x>0
Para resolver usamos o método da redução de ordem: primeiro encontramos a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x^2:
y''-2xy'+2x^2y=4
Procuramos uma solução y1(x) da homogênea
y''-2xy'+2x^2y=0
Testando y1=x temos
y1'=1, y1''=0Rightarrow x^2cdot0-2xcdot1+2cdot x=0,
logo y1(x)=x é solução.

Passo 3

Para achar a segunda solução usamos redução de ordem: definimos
y2(x)=u(x),y1(x)=u(x),x
Na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 temos P(x)=-2/x. A fórmula para u' é
u'=expl(-integral P(x),dxr)y1^2 =expl(integral2/x,dxr)x^2 =x^2x^2=1
Integrando dá u(x)=x (constante absorvida em y1), logo
y2(x)=xcdot x=x^2
As duas soluções lineares independentes da homogênea são
yh(x)=C1x+C2x^2

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular da não homogênea. Como o termo 4x^2 coincide com uma solução da homogênea, tentamos
yp(x)=A,x^2ln x
Calculamos as derivadas:
yp'=Al(2xln x +xr)=A,x(2ln x+1),
yp''=Al(2ln x+1+2r)=A(2ln x+3)

Passo 5

Substituindo em x^2y''-2x,y'+2y obtemos
x^2l[A(2ln x+3)r]-2xl[A,x(2ln x+1)r]+2l[A,x^2ln xr] =A,x^2
Queremos isso igual a 4x^2, então A=4. Assim
yp(x)=4x^2ln x

Passo 6

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C1x+C2x^2+4x^2ln x

Resposta

y(x)=C1x+C2x^2+4x^2ln x, C1,C2inR

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