Considere os itens:
É possível que
seja uma solução de uma equação
, com
e
funções contínuas num intervalo que contenha
? Explique a resposta.
É possível que
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível que
seja solução de
num intervalo que contenha
, com
e
contínuas.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para equações lineares de segunda ordem: dada uma EDO linear com contínuas, o problema de valor inicial
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para equações lineares de segunda ordem: dada uma EDO linear com
tem solução única.
Passo 2
Vamos avaliar as condições iniciais em
.
Como
Como
temos
logo
Portanto o problema de valor inicial associado é
Passo 3
Pelo Teorema de Unicidade, a única solução da EDO linear homogênea com essas condições iniciais é a solução trivial
em todo o intervalo. Mas
não é identicamente zero em nenhuma vizinhança de
. Isso gera contradição.
Resposta
Não é possível que
seja solução de uma equação da forma
com
e
contínuas num intervalo contendo
, pois violaria a unicidade do problema de valor inicial.