Considere os itens:
É possível que y=sen(x^2) seja uma solução de uma equação y^prime ^prime+p(x) y^prime+q(x) y=0, com p(x) e q(x) funções contínuas num intervalo que contenha x=0 ? Explique a resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível que
y=sinl(x^2r)
seja solução de
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
num intervalo que contenha x=0, com p e q contínuas.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para equações lineares de segunda ordem: dada uma EDO linear com p,q contínuas, o problema de valor inicial
y(x0)=y0, y'(x0)=y1
tem solução única.

Passo 2

Vamos avaliar as condições iniciais em x=0.
Como
y(0)=sin(0^2)=0,
temos
y'(x)=ddxsin(x^2)=2xcos(x^2),
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y'(0)=2cdot0cdotcos(0)=0
Portanto o problema de valor inicial associado é
y(0)=0, y'(0)=0

Passo 3

Pelo Teorema de Unicidade, a única solução da EDO linear homogênea com essas condições iniciais é a solução trivial
y(x)equiv0
em todo o intervalo. Mas sin(x^2) não é identicamente zero em nenhuma vizinhança de x=0. Isso gera contradição.

Resposta

Não é possível que y=sin(x^2) seja solução de uma equação da forma
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
com p e q contínuas num intervalo contendo x=0, pois violaria a unicidade do problema de valor inicial.

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