Determine, usando as propriedades da divisão:
o quociente da divisão de f(x) por (x-1)(x+1)(x+2), sendo
f(x)=x^{5}+x^{4}+5 x^{2}-x-6 ;

Passo 1

O enunciado pede o quociente da divisão de
f(x)=x^5+x^4+5x^2 - x -6
por
g(x)=(x-1)(x+1)(x+2).
Como g é produto de três fatores lineares, vamos aplicar divisão sintética sucessivamente pelas raízes 1, -1 e -2. O quociente final terá grau 2.

Passo 2

Dividimos f por x-1 (raiz +1). Coeficientes de f: 1,1,0,5,-1,-6. Divisão sintética com 1:
\begin{array}{r|rrrrrr} 1 & 1 & 1 & 0 & 5 & -1 & -6\\\ & & 1 & 2 & 2 & 7 & 6\\\ \hline & 1 & 2 & 2 & 7 & 6 & 0 \end{array}
O quociente parcial é
q_1(x)=x^4+2x^3+2x^2+7x+6.

Passo 3

Agora dividimos q_1(x) por x+1 (raiz -1). Coeficientes de q_1: 1,2,2,7,6. Sintética com -1:
\begin{array}{r|rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 7 & 6\\\ & & -1 & -1 & -1 & -6\\\ \hline & 1 & 1 & 1 & 6 & 0 \end{array}
O quociente parcial é
q_2(x)=x^3+x^2+x+6.

Passo 4

Por fim, dividimos q_2(x) por x+2 (raiz -2). Coeficientes de q_2: 1,1,1,6. Sintética com -2:
\begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & 1 & 1 & 6\\\ & & -2 & 2 & -6\\\ \hline & 1 & -1 & 3 & 0 \end{array}
O quociente final é
Q(x)=x^2 - x + 3.

Resposta

x^2 - x + 3

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