Determine, usando as propriedades da divisão:
as condições sobre a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_{1}, a_{0}, para que 1 seja raiz do polinômio f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \not \equiv \mathbf{0};

Passo 1

O enunciado pede a condição sobre os coeficientes a_{n},a_{n-1},\dots,a_{0} para que x=1 seja raiz do polinômio
f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\not\equiv\mathbf{0}.
Vamos usar o Teorema do Resto (ou a divisão de polinômios por x-1).

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão, existem único polinômio q(x) de grau n-1 e único escalar r tais que
f(x)=(x-1)\,q(x)+r,
onde \deg r<\deg(x-1)=1, ou seja, r é constante.

Passo 3

Para determinar r, basta avaliar em x=1:
f(1)=(1-1)\,q(1)+r \quad\Longrightarrow\quad f(1)=r.
Logo, x=1 é raiz de f se, e somente se, r=0, isto é, f(1)=0.

Passo 4

Calculemos
f(1)=a_{n}\cdot1^{n}+a_{n-1}\cdot1^{n-1}+\cdots+a_{1}\cdot1+a_{0} =\sum_{i=0}^{n}a_{i}.
Para que f(1)=0, é necessário e suficiente que
\sum_{i=0}^{n}a_{i}=0.

Resposta

A condição para que 1 seja raiz de f é
a_{n}+a_{n-1}+\cdots+a_{1}+a_{0}=0.

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