Determine, usando o teste da comparação, se a integral imprópria
converge ou diverge. Em caso de convergência, determine seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, usando o teste da comparação, se a integral imprópria
converge ou diverge, e em caso de convergência calcular seu valor. O conteúdo aqui envolve o estudo de comportamento assintótico para teste de comparação e técnicas de integração (substituição trigonométrica e integração por partes).
Passo 2
Para x→0 temos
. Logo o integrando se comporta como
próximo de zero. Como
converge, pelo teste da comparação a integral original não diverge em 0.
Passo 3
Para x→∞ temos
. Então
E como
converge, pelo teste da comparação a integral original não diverge no infinito.
Passo 4
Para calcular o valor, fazemos a substituição
, de onde
e
. Os limites
e
. Substituindo obtemos
Passo 5
Usando
, isso simplifica para
Passo 6
Para
aplicamos integração por partes com
e
. Então
e
. Temos
Logo
.
Resposta
Converge e vale
.