Determine, usando o teste da comparação, se a integral imprópria
integral0^infty x arctan (x)(1+x^2)^2 d x
converge ou diverge. Em caso de convergência, determine seu valor.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o teste da comparação, se a integral imprópria
integral0^ infty xarctan(x)(1+x^2)^2 ,dx
converge ou diverge, e em caso de convergência calcular seu valor. O conteúdo aqui envolve o estudo de comportamento assintótico para teste de comparação e técnicas de integração (substituição trigonométrica e integração por partes).

Passo 2

Para x→0 temos arctan(x)sim x. Logo o integrando se comporta como
xcdot x(1+0)^2=x^2
próximo de zero. Como integral0 x^2 ,dx converge, pelo teste da comparação a integral original não diverge em 0.

Passo 3

Para x→∞ temos arctan(x)to tfracpi2. Então
xarctan(x)(1+x^2)^2sim (pi/2),xx^4=pi2x^-3
E como integral^infty x^-3 ,dx converge, pelo teste da comparação a integral original não diverge no infinito.

Passo 4

Para calcular o valor, fazemos a substituição t=arctan(x), de onde x=tan(t) e dx=sec^2(t),dt. Os limites x=0to t=0 e xtoinftyto t=pi/2. Substituindo obtemos
I=integral0^pi/2 t,tan(t),sec^2(t)sec^4(t),dt =integral0^pi/2 t,tan(t),sec^-2(t),dt

Passo 5

Usando tan(t)sec^-2(t)=sin(t)cos(t), isso simplifica para
I=integral0^pi/2 tsin(t)cos(t),dt=12integral0^pi/2 tsin(2t),dt

Passo 6

Para J=integral0^pi/2 tsin(2t),dt aplicamos integração por partes com u=t e dv=sin(2t),dt. Então du=dt e v=-tfrac12cos(2t). Temos
J=l[-t2cos(2t)r]0^pi/2+12integral0^pi/2cos(2t),dt=pi4+0=pi4
Logo I=tfrac12J=pi/8.

Resposta

Converge e vale pi/8.

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