Use integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos gráficos das equações
e
.
Passo 1
A questão pede o volume do sólido no primeiro octante limitado por z=4−x², pelo plano x+y=4, pelos planos x=0, y=0 e pelo plano z=0. O conteúdo é cálculo de volume via integral dupla e vamos precisar projetar o sólido no plano xy e usar a definição de volume sob a superfície z=f(x,y):
Passo 2
Primeiro determinamos a projeção D no plano xy. O sólido existe onde z=4−x²≥0, isto é 0≤x≤2, e dentro do triângulo definido por x≥0, y≥0 e x+y≤4. Para 0≤x≤2, y varia de 0 até 4−x.
Passo 3
Montamos a integral dupla para o volume:
Passo 4
Calculamos a integral interna em relação a y, tratando (4−x²) como constante:
Passo 5
Agora integramos em x:
Passo 6
Calculando essa integral:
Resposta
V=52/3