Use integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos gráficos das equações z=4-x^2, x+y=4, x=0, y=0 e z=0.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido no primeiro octante limitado por z=4−x², pelo plano x+y=4, pelos planos x=0, y=0 e pelo plano z=0. O conteúdo é cálculo de volume via integral dupla e vamos precisar projetar o sólido no plano xy e usar a definição de volume sob a superfície z=f(x,y):
V=integral duplaD f(x,y),dA

Passo 2

Primeiro determinamos a projeção D no plano xy. O sólido existe onde z=4−x²≥0, isto é 0≤x≤2, e dentro do triângulo definido por x≥0, y≥0 e x+y≤4. Para 0≤x≤2, y varia de 0 até 4−x.

Passo 3

Montamos a integral dupla para o volume:
V=integralx=0^2integraly=0^4-x(4-x^2),dy,dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em relação a y, tratando (4−x²) como constante:
integraly=0^4-x(4-x^2),dy=(4-x^2),y|0^4-x=(4-x^2)(4-x)

Passo 5

Agora integramos em x:
V=integral0^2(4-x^2)(4-x),dx=integral0^2(16-4x-4x^2+x^3),dx

Passo 6

Calculando essa integral:
integral0^2(16-4x-4x^2+x^3),dx=l[16x-2x^2-tfrac43x^3+tfrac14x^4r]0^2=523

Resposta

V=52/3

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