Determine, utilizando a definição, a paridade das funções abaixo.
f(x)=x^7-4 x^5+x^3-x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a paridade da função f(x)=x^{7}-4 x{5}+x{3}-x. O conteúdo envolvido é o de paridade de funções, e vamos precisar usar a definição: f é par se f(-x)=f(x) e ímpar se f(-x)=-f(x).

Passo 2

Para aplicar a definição, substituímos x por -x em f(x). Assim, temos:
f(-x)=(-x)^7-4(-x)^5+(-x)^3-(-x)
Agora simplificamos cada termo, lembrando que potências ímpares preservam o sinal de -x.

Passo 3

Cálculo termo a termo:
(-x)^7=-x^7,
-4(-x)^5=-4(-x^5)=4x^5,
(-x)^3=-x^3,
-(-x)=+x
Somando tudo, obtemos:
f(-x)=-x^7+4x^5-x^3+x

Passo 4

Comparando com -f(x):
-f(x)=-(x^7-4x^5+x^3-x)=-x^7+4x^5-x^3+x,
vemos que f(-x) coincide exatamente com -f(x). Portanto, pela definição, f é ímpar.

Resposta

A função f(x)=x{7}-4x{5}+x^{3}-x é ímpar.

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