Resolva as integrais usando frações parciais.
$ \int \frac{1}{(x+a)(x+b)} d x$

Passo 1

Na integral integral 1(x+a)(x+b),dx, queremos usar frações parciais para decompor o integrando em termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

A técnica de frações parciais diz que podemos escrever
1(x+a)(x+b) = Ax+a + Bx+b

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+a)(x+b), obtemos
1 = A(x+b) + B(x+a)
Para achar A e B, avaliamos em x=-a e x=-b: em x=-a, 1 = A(-a+b) logo A = 1b-a. Em x=-b, 1 = B(-b+a) logo B = 1a-b = -1b-a

Passo 4

Agora reescrevemos a integral como
integral 1(x+a)(x+b),dx = integral (Ax+a + Bx+b)dx = Aln|x+a| + Bln|x+b| + C
Aqui usamos a identidade integral dxx+c = ln|x+c| + C.

Passo 5

Substituindo os valores de A e B na expressão integrada, temos
1b-aln|x+a| - 1b-aln|x+b|
Usando a propriedade de logaritmos, isso vira
1b-aln|x+ax+b|

Resposta

1b-aln|x+ax+b| + C

Exercícios relacionados