Resolva as integrais usando frações parciais.
( \int \frac{d t}{\left(t{2}-1\right){2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dt(t^2-1)^2 usando frações parciais. O conteúdo é decomposição em frações parciais: precisamos fatorar o denominador, escrever a soma de frações mais simples e determinar seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: . Propondo a decomposição
(t^2-1)^2 = (t-1)^2(t+1)^2 A a integral fica ( integral dt(t-1)^2(t+1)^2

Passo 3

Para achar B e D, avaliamos em polos simples: em t=1 só sobrevive B/(t-1)^2, logo
1 = B,(1+1)^2 = 4B implies B = tfrac14
Em t=-1 só sobrevive D/(t+1)^2, então
1 = D,(-1-1)^2 = 4D implies D = tfrac14

Passo 4

Para achar A e C, multiplicamos a identidade pela forma fatorada e comparamos coeficientes. Temos
1 = A(t-1)(t+1)^2 + B(t+1)^2 + C(t+1)(t-1)^2 + D(t-1)^2
Substituindo B=D=tfrac14, expandindo e coletando termos, equaciona-se os coeficientes de t^3,t^2,t,1. Dessa comparação resulta
A = -tfrac14, C = tfrac14

Passo 5

Assim obtemos
1(t^2-1)^2 = -141t-1 + 141(t-1)^2 + 141t+1 + 141(t+1)^2
Agora integramos cada parcela.

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral -14dtt-1 = -14ln|t-1|,
integral 14dt(t-1)^2 = -14(t-1),
integral 14dtt+1 = 14ln|t+1|,
integral 14dt(t+1)^2 = -14(t+1)

Passo 7

Somando tudo e reunindo constantes de integração, a antiderivada é
-14ln|t-1| - 14(t-1) + 14ln|t+1| - 14(t+1) + C

Resposta

integral dt(t^2-1)^2 = -14ln|t-1| - 14(t-1) + 14ln|t+1| - 14(t+1) + C

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