Resolva as integrais usando frações parciais.
( \int \frac{d t}{\left(t{2}-1\right){2}}\
( \int \frac{d t}{\left(t{2}-1\right){2}}\
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando frações parciais. O conteúdo é decomposição em frações parciais: precisamos fatorar o denominador, escrever a soma de frações mais simples e determinar seus coeficientes.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador: . Propondo a decomposição
Passo 3
Para achar
e
, avaliamos em polos simples: em
só sobrevive
, logo
Em
só sobrevive
, então
Passo 4
Para achar
e
, multiplicamos a identidade pela forma fatorada e comparamos coeficientes. Temos
Substituindo
, expandindo e coletando termos, equaciona-se os coeficientes de
. Dessa comparação resulta
Passo 5
Assim obtemos
Agora integramos cada parcela.
Passo 6
Integramos termo a termo:
Passo 7
Somando tudo e reunindo constantes de integração, a antiderivada é