Determine u+v, 4 u+2 v,|u| e |u-v|.
u=4 i-3 j+2 k, v=2 i-4 k

Passo 1

Temos os vetores definidos por
u = 4,i - 3,j + 2,k,
v = 2,i - 4,k
O conteúdo aqui é operações com vetores em R^3: soma, combinação linear e norma. Para resolver, vamos usar a definição de soma e subtração componente a componente e a fórmula da norma euclidiana.

Passo 2

Para calcular u + v, somamos as componentes correspondentes:
u + v = (4+2),i + (-3+0),j + (2 + (-4)),k = 6,i - 3,j - 2,k

Passo 3

Para calcular 4u + 2v, primeiro multiplicamos cada componente de u por 4 e de v por 2, depois somamos:
4u = (16),i + (-12),j + (8),k,
2v = (4),i + (0),j + (-8),k,
4u + 2v = (16+4),i + (-12+0),j + (8 + (-8)),k = 20,i - 12,j + 0,k = 20,i - 12,j

Passo 4

A norma de um vetor u = (u1,u2,u3) é dada por
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Aplicando em u = (4,-3,2):
|u| = raiz4^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz16 + 9 + 4 = raiz29

Passo 5

Para encontrar u - v subtraímos componente a componente e, em seguida, calculamos sua norma:
u - v = (4-2),i + (-3-0),j + (2 - (-4)),k = 2,i - 3,j + 6,k
A norma fica:
|u - v| = raiz2^2 + (-3)^2 + 6^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7

Resposta

u + v = 6,i - 3,j - 2,k, 4u + 2v = 20,i - 12,j, |u| = raiz29 e |u - v| = 7.

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