Considere a função z=z(x, y) dada implicitamente pela expressão sen(x y z)=x+2 y+3 z. Calcule as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x, y e z.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função implícita definida por sin(xyz)=x+2y+3z. O tema é derivação implícita de funções de várias variáveis, e para achar partial z/partial x e partial z/partial y vamos diferenciar essa igualdade em relação a x e a y, usando regra da cadeia e produto, pois z depende de x,y.

Passo 2

Diferenciando em relação a x:
Aplicamos a regra da cadeia em sin(xyz):
partialpartial xl(sin(xyz)r)=cos(xyz)cdotpartialpartial x(x y z)
Como y é constante e z=z(x,y), usamos produto: partialpartial x(x y z)=y z + x ypartial zpartial x. Logo:
cos(xyz)l(yz + xypartial zpartial xr)=1 +3partial zpartial x,
pois partial(x+2y+3z)/partial x=1+3partial z/partial x. Reunindo os termos com partial z/partial x e resolvendo, obtemos:
partial zpartial x=1 - yzcos(xyz)xycos(xyz)-3

Passo 3

Diferenciando em relação a y:
De modo similar:
partialpartial yl(sin(xyz)r)=cos(xyz)cdotpartialpartial y(x y z)
com x constante e z=z(x,y). Então partialpartial y(x y z)=xz + xypartial zpartial y e partial(x+2y+3z)/partial y=2+3partial z/partial y. Isso dá:
cos(xyz)(xz + xypartial zpartial y)=2 +3partial zpartial y
Isolando partial z/partial y:
partial zpartial y=2 - xzcos(xyz)xycos(xyz)-3

Resposta

partial zpartial x=1 - yzcos(xyz)xycos(xyz)-3, partial zpartial y=2 - xzcos(xyz)xycos(xyz)-3

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