Determine u+v, 4 u+2 v,|u| e |u-v|.
u=5 i+3 j, v=-i-2 j.

Passo 1

Estamos com dois vetores em ℝ²: u=5,i+3,j e v=-i-2,j. O que pedem é: soma de vetores, combinação linear e normas (módulo) de vetores – tudo usando regras básicas de álgebra vetorial e norma euclidiana.

Passo 2

Para calcular u+v, somamos as componentes correspondentes. Na componente i: 5+(-1)=4. Na componente j: 3+(-2)=1. Assim,
u+v=4,i+1,j=4,i+j

Passo 3

Para achar 4u+2v, primeiro fazemos a multiplicação escalar em cada vetor:
4u=4(5,i+3,j)=20,i+12,j,
2v=2(-i-2,j)=-2,i-4,j
Somando termo a termo: 20+(-2)=18 na direção i e 12+(-4)=8 na direção j. Logo,
4u+2v=18,i+8,j

Passo 4

Para calcular a norma de u, usamos a fórmula da norma euclidiana em ℝ², |u|=raizx^2+y^2. Aqui x=5 e y=3, então
|u|=raiz5^2+3^2=raiz25+9=raiz34

Passo 5

Por fim, para |u-v| primeiro encontramos u-v: componente i: 5-(-1)=6, componente j: 3-(-2)=5. Assim u-v=6,i+5,j. A norma é
|u-v|=raiz6^2+5^2=raiz36+25=raiz61

Resposta

u+v=4,i+j, 4u+2v=18,i+8,j, |u|=raiz34, |u-v|=raiz61

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