r: X=(1,1,1)+t(1,-1,1), t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{ll} x & =0-2 k \\\ y & =1+2 k \\\ z & =-1-2 k \end{array} \quad k \in \mathbb{R} \quad .\right.
a) Verifique se as retas r e s são paralelas, reversas ou concorrentes.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3\):
\[r: X = (1,1,1) + t\,(1,-1,1),\quad t\in\mathbb{R},
Queremos classificar se r\] e \(s são paralelas, reversas (não coplanares e não se cruzam) ou concorrentes (intersectam).
Passo 2
Identificamos os vetores direção:
v_r = (1,-1,1),
v_s = (-2,2,-2) = -2\,(1,-1,1) = -2\,v_r.
Como v_s é múltiplo de v_r, as retas têm direções colineares, logo são paralelas (ou coincidentes).
Passo 3
Para ver se coincidem ou são paralelas distintas, tentamos achar ponto em comum. Igualamos um ponto genérico de r, (1+t,\,1-t,\,1+t), a um de s, (-2k,\,1+2k,\,-1-2k).
Isso dá o sistema
1+t = -2k,\quad 1-t = 1+2k,\quad 1+t = -1-2k.
Da segunda equação t=-2k. Substituindo na primeira: