Sobre o conjunto \{(1,0,0),(1,1,0),(1,2,0),(2,0,0)\} é correto afirmar:
(Atenção, mais de uma alternativa pode ser verdadeira.)
a. É um conjunto Linearmente Independente (LI).
b. É uma base de \mathbb{R}^{3}.
c. É um conjunto Linearmente Independente (LD).
d. Gera um subespaço de dimensão 2 .
e. Gera um subespaço de dimensão 3 .

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^3:
\,(1,0,0),\;(1,1,0),\;(1,2,0),\;(2,0,0).
Queremos verificar se esse conjunto é linearmente independente ou dependente, se forma base de \mathbb{R}^3 e qual a dimensão do subespaço que gera.

Passo 2

Para ver se há dependência linear, buscamos escalares não todos nulos tais que
\alpha_1(1,0,0)+\alpha_2(1,1,0)+\alpha_3(1,2,0)+\alpha_4(2,0,0)=(0,0,0).
Note que basta observar
(2,0,0)=2\,(1,0,0).
Logo, podemos tomar \alpha_1=-2, \alpha_4=1 e \alpha_2=\alpha_3=0 para obter combinação nula não trivial.
Isso mostra que o conjunto é linearmente dependente. Portanto não é LI (a. é falsa) e também não pode ser base de \mathbb{R}^3 (b. é falsa).

Passo 3

Como todos os vetores têm terceira coordenada zero, eles vivem no plano z=0. Além disso, os dois primeiros vetores
(1,0,0) e (1,1,0)
são LI (não são múltiplos um do outro). Qualquer outro dos quatro se escreve como combinação desses dois: por exemplo,
(1,2,0)= (1,0,0)+2\,(0,1,0) e (2,0,0)=2\,(1,0,0).
Logo o subespaço gerado é exatamente o plano de dimensão 2. Assim a dimensão é 2 (d. é verdadeira) e não 3 (e. é falsa).

Resposta

c. É um conjunto Linearmente Dependente (LD).
d. Gera um subespaço de dimensão 2.

Exercícios relacionados