Sobre o conjunto
é correto afirmar:
(Atenção, mais de uma alternativa pode ser verdadeira.)
a. É um conjunto Linearmente Independente (LI).
b. É uma base de
.
c. É um conjunto Linearmente Independente (LD).
d. Gera um subespaço de dimensão 2 .
e. Gera um subespaço de dimensão 3 .
(Atenção, mais de uma alternativa pode ser verdadeira.)
a. É um conjunto Linearmente Independente (LI).
b. É uma base de
c. É um conjunto Linearmente Independente (LD).
d. Gera um subespaço de dimensão 2 .
e. Gera um subespaço de dimensão 3 .
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em
:
.
Queremos verificar se esse conjunto é linearmente independente ou dependente, se forma base de e qual a dimensão do subespaço que gera.
Queremos verificar se esse conjunto é linearmente independente ou dependente, se forma base de
Passo 2
Para ver se há dependência linear, buscamos escalares não todos nulos tais que
Note que basta observar
.
Logo, podemos tomar ,
e
para obter combinação nula não trivial.
Isso mostra que o conjunto é linearmente dependente. Portanto não é LI (a. é falsa) e também não pode ser base de (b. é falsa).
Logo, podemos tomar
Isso mostra que o conjunto é linearmente dependente. Portanto não é LI (a. é falsa) e também não pode ser base de
Passo 3
Como todos os vetores têm terceira coordenada zero, eles vivem no plano
. Além disso, os dois primeiros vetores
e
são LI (não são múltiplos um do outro). Qualquer outro dos quatro se escreve como combinação desses dois: por exemplo,
e
.
Logo o subespaço gerado é exatamente o plano de dimensão 2. Assim a dimensão é 2 (d. é verdadeira) e não 3 (e. é falsa).
são LI (não são múltiplos um do outro). Qualquer outro dos quatro se escreve como combinação desses dois: por exemplo,
Logo o subespaço gerado é exatamente o plano de dimensão 2. Assim a dimensão é 2 (d. é verdadeira) e não 3 (e. é falsa).
Resposta
c. É um conjunto Linearmente Dependente (LD).
d. Gera um subespaço de dimensão 2.
d. Gera um subespaço de dimensão 2.