Determine o valor de \alpha tal que:
\alpha=\log _{5} \sqrt[3]{7^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \alpha dado por
\alpha=\log_{5}\sqrt[3]{7^{5}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do logarítmo é uma raiz enésima aplicada a uma potência: \sqrt[3]{7^{5}}.
  • O logaritmo é na base 5, ou seja \log_{5}(\cdot).
    O que é pedido: simplificar/avaliar \alpha em termos de formas mais simples (usando propriedades de potências e logaritmos).

Passo 2

Primeiro vamos transformar a raiz em potência para trabalhar de forma mais direta. Regra de potências: quando tem-se uma potência elevada a uma potência vale
(a^{b})^{c}=a^{bc}.
Aplicando isso a \sqrt[3]{7^{5}}=(7^{5})^{1/3}, obtemos
\sqrt[3]{7^{5}}=(7^{5})^{1/3}=7^{5\cdot\frac{1}{3}}=7^{\frac{5}{3}}.
Explicando bem: a raiz cúbica é o mesmo que elevar à potência \tfrac{1}{3}. Então pegar 7^{5} e tirar a raiz cúbica equivale a multiplicar os expoentes: 5\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{3}.

Passo 3

Agora substituímos na definição de \alpha:
\alpha=\log_{5}\left(7^{\frac{5}{3}}\right).
Usaremos a propriedade dos logaritmos que é central aqui: para qualquer base positiva b\neq1 e qualquer x>0 e real r,
\log_{b}\left(x^{r}\right)=r\log_{b}x.
Justificativa rápida dessa propriedade: se \log_{b}x=y então b^{y}=x. Elevando ambos os lados à potência r b^{ry}=x^{r}. Aplicando logaritmo base b em x^{r} obtém-se ry, ou seja \log_{b}(x^{r})=r\log_{b}x.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao caso \log_{5}\left(7^{\frac{5}{3}}\right) obtemos
\alpha=\frac{5}{3}\log_{5}7.
Isso já é uma forma muito simples e apropriada para uma prova. Se for necessário expressar sem o logaritmo na base 5, pode-se também usar a fórmula de mudança de base:
\log_{5}7=\frac{\ln 7}{\ln 5},
logo outra forma equivalente é
\alpha=\frac{5}{3}\cdot\frac{\ln 7}{\ln 5}.

Passo 5

Resumo didático (para decorar e usar na prova):
  • Converter raízes em potências: \sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}.
  • Aplicar a propriedade do logaritmo de potência: \log_{b}(a^{r})=r\log_{b}a.
    No problema, usamos as duas em sequência para chegar a \alpha=\dfrac{5}{3}\log_{5}7. Força aí — você já resolveu a parte mais chata; o resto é aplicar essas regras rapidamente!

Resposta

\displaystyle \alpha=\frac{5}{3}\log_{5}7

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