Determine o valor de
tal que:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
dado por
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro do logarítmo é uma raiz enésima aplicada a uma potência:
. - O logaritmo é na base
, ou seja .
O que é pedido: simplificar/avaliarem termos de formas mais simples (usando propriedades de potências e logaritmos).
Passo 2
Primeiro vamos transformar a raiz em potência para trabalhar de forma mais direta. Regra de potências: quando tem-se uma potência elevada a uma potência vale
Aplicando isso a
, obtemos
Explicando bem: a raiz cúbica é o mesmo que elevar à potência
. Então pegar
e tirar a raiz cúbica equivale a multiplicar os expoentes:
.
Passo 3
Agora substituímos na definição de
:
Usaremos a propriedade dos logaritmos que é central aqui: para qualquer base positiva
e qualquer
e real
,
Justificativa rápida dessa propriedade: se
então
. Elevando ambos os lados à potência
dá
. Aplicando logaritmo base
em
obtém-se
, ou seja
.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao caso
obtemos
Isso já é uma forma muito simples e apropriada para uma prova. Se for necessário expressar sem o logaritmo na base
, pode-se também usar a fórmula de mudança de base:
logo outra forma equivalente é
Passo 5
Resumo didático (para decorar e usar na prova):
- Converter raízes em potências:
. - Aplicar a propriedade do logaritmo de potência:
.
No problema, usamos as duas em sequência para chegar a. Força aí — você já resolveu a parte mais chata; o resto é aplicar essas regras rapidamente!