A Regra da Cadeia é uma técnica de integração que permite encontrar a integral de uma função composta. Essa técnica é baseada no conceito de substituição, de acordo com o qual uma nova variável é introduzida para simplificar a expressão da função a ser integrada. Qual das seguintes integrais requer a aplicação da Regra da Cadeia?
a. \int\left(x^{2}+4 x\right) d x.
b. \quad \int\left(e^{2 x}\right) d x.
C. \int\left(x^{3}-3 x^{2}\right) d x.
d. \quad \int(\sin (\mathrm{x}) \cos (\mathrm{x})) \mathrm{dx}.
e. \int\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das integrais abaixo exige usar a técnica de substituição (regra da cadeia) para ser resolvida:
a. \displaystyle \int\bigl(x^{2}+4x\bigr)\,dx
b. \displaystyle \int e^{2x}\,dx
c. \displaystyle \int\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr)\,dx
d. \displaystyle \int \sin(x)\cos(x)\,dx
e. \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{3}+1}\,dx
Para usar a regra da cadeia precisamos que a integral seja de uma função composta cuja derivada interna apareça, permitindo a substituição.

Passo 2

As integrais das opções a e c envolvem apenas polinômios somados ou subtraídos e podem ser resolvidas direto pela regra do poder:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Elas não exigem substituição.

Passo 3

Na opção b temos
\int e^{2x}\,dx.
Aqui é e^{u} com u=2x. Calculando du=2\,dx vemos que aparece dx mas falta o fator 2, o que exige fazer a substituição u=2x para usar a regra da cadeia.

Passo 4

Na opção d temos
\int \sin(x)\cos(x)\,dx.
Percebemos que se fizermos u=\sin(x) então du=\cos(x)\,dx. O produto \sin(x)\cos(x)\,dx se transforma em u\,du (ou em du direto se isolarmos bem), o que também é um caso clássico de substituição.

Passo 5

Na opção e temos
\int \frac{x^{2}}{x^{3}+1}\,dx.
Aqui basta tomar u=x^{3}+1, pois du=3x^{2}\,dx. O numerador x^{2}\,dx está presente (até um fator constante), permitindo a substituição imediata e simplificando a integral para \int u^{-1}\,du.

Passo 6

Das opções b, d e e, todas usam substituição. Mas o exemplo mais clássico e unicamente resolvível por regra da cadeia (sem identidade ou outro artifício) é o da opção e, pois temos uma razão de polinômios em que o denominador e sua derivada aparecem diretamente.

Resposta

e

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