A Regra da Cadeia é uma técnica de integração que permite encontrar a integral de uma função composta. Essa técnica é baseada no conceito de substituição, de acordo com o qual uma nova variável é introduzida para simplificar a expressão da função a ser integrada. Qual das seguintes integrais requer a aplicação da Regra da Cadeia?
a.
.
b.
.
C.
.
d.
.
e.
.
a.
b.
C.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual das integrais abaixo exige usar a técnica de substituição (regra da cadeia) para ser resolvida:
a.
b.
c.
d.
e.
b.
c.
d.
e.
Para usar a regra da cadeia precisamos que a integral seja de uma função composta cuja derivada interna apareça, permitindo a substituição.
Passo 2
As integrais das opções a e c envolvem apenas polinômios somados ou subtraídos e podem ser resolvidas direto pela regra do poder:
Elas não exigem substituição.
Passo 3
Na opção b temos
Aqui é
com
. Calculando
vemos que aparece
mas falta o fator
, o que exige fazer a substituição
para usar a regra da cadeia.
Passo 4
Na opção d temos
Percebemos que se fizermos
então
. O produto
se transforma em
(ou em
direto se isolarmos bem), o que também é um caso clássico de substituição.
Passo 5
Na opção e temos
Aqui basta tomar
, pois
. O numerador
está presente (até um fator constante), permitindo a substituição imediata e simplificando a integral para
.
Passo 6
Das opções b, d e e, todas usam substituição. Mas o exemplo mais clássico e unicamente resolvível por regra da cadeia (sem identidade ou outro artifício) é o da opção e, pois temos uma razão de polinômios em que o denominador e sua derivada aparecem diretamente.
Resposta
e