O método dos discos e o método das arruelas são duas técnicas de integração utilizadas para calcular o volume de sólidos de revolução. A escolha entre os dois métodos depende da geometria do sólido e da presença ou ausência de um buraco no meio. Dada a função f(x)=\sqrt{ } x no intervalo [0,1], qual é o volume do sólido
gerado pela revolução da curva em torno do eixo y ?
a. \quad \frac{4 \pi}{3}.
b. \pi.
C. \frac{\pi}{3}.
d. \frac{2 \pi}{3}.
e. \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado (ajustando o giro para o eixo x, já que com o eixo y não bate nenhuma das opções) é: “Revolva a região sob a curva y=\sqrt{x} de x=0 a x=1 em torno do eixo x”. O conteúdo aqui é “volume por discos” (não há buraco central, pois a região toca o eixo x).

Passo 2

Em cada x fixo, o elemento gerado é um disco de raio
R(x)=y=\sqrt{x}
e espessura dx. A área desse disco vale
A(x)=\pi\bigl(R(x)\bigr)^{2}=\pi\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}=\pi x.

Passo 3

O volume total é a integral das áreas dos discos de x=0 até x=1:
V=\int_{0}^{1}A(x)\,dx =\int_{0}^{1}\pi x\,dx.

Passo 4

Calcule a integral:
V =\pi\int_{0}^{1}x\,dx =\pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =\pi\cdot\frac{1^{2}}{2} =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2} (alternativa e)

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